Теоретический материал к практической работе № 8:

Опр: Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция это переменной и ее производные (или дифференциалы).

Общий вид:

F(x,y′,y′′, …,y⁽ⁿ⁾) = 0

или

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y′,y′′, …y^(n-1))

Опр: Порядком диф. уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение xy′+3y-e^x = 0 является уравнением 1-го порядка;

уравнение y′′+3xy′+sinx=0 является уравнением 2-го порядка.

Опр: Степенью диф. уравнения называется показатель степени старшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение (y′)²+3yx³=0 является уравнением 2-го порядка.

Диф. уравнения степенью выше единицы вначале решают алгебраически относительно старшей производной, а затем рассматривают диф. уравнения первой степени относительно старшей производной.

Опр: Решением диф. уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Опр: Решение диф. уравнения, записанное в неявной форме, называется интегралом диф. уравнения.

Решения (интегралы) диф. уравнений разделяют на общие, частные и особые.

Общее решение содержит чаще всего все многообразие решений и помимо независимой переменной всегда содержит столько произвольных постоянных, каков порядок диф. уравнения.

Частные решения находят из общего при конкретных численных значениях произвольных постоянных, входящих в него. Для выделения частного решения из общего к диф. уравнению задают дополнительные условия в количестве, равном порядку уравнения.

Опр: Дополнительные условия к диф. уравнению «n» порядка, заданные в виде значений функций и ее производных до «n-1» порядка включительно при одном и том же значении аргумента, называются начальными условиями или условиями Коши.

Опр: Задача нахождения частного решения диф. уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Опр: Решения диф. уравнения, которые не содержаться в общем решении, называются особыми решениями.

Дифференциальные уравнения первого порядка:

Рассмотрим диф. уравнение:

y′= f(x,y)

начальное условие Коши к нему имеет вид:

,т.е. при

Общее решение диф. уравнения y′=f(x,y) имеет вид y=φ(x,c), где c – произвольная постоянная. Оно определяет семейство интегральных кривых.

Частное решение – это одна интегральная кривая, проходящая через точку, заданную начальным условием.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

Если в диф. уравнении y′=f(x,y) функция f(x,y) может быть представлена в виде: , то уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными.

Его решение (интегрирование) проводится по следующему алгоритму:

1. Представим , тогда уравнение запишется:

2. Разделить переменные:

3. Проинтегрировать обе части равенства: , где c – произвольная постоянная

Это общий интеграл уравнения, входящие в него неопределенные интегралы находятся методами, рассматриваемыми в интегральном исчислении.

Если диф. уравнение записано в виде:

,

то это уравнение с разделяющимися переменными, если

;

Интегрирование уравнения производится так:

Считая , разделим на :

Интегрируя обе части получим:

– общий интеграл уравнения.

Заметим, при разделении переменных могут быть «потерянные» решения, которые в некоторых случаях будут особыми решениями.