Определённый интеграл

Опр: Приращение F(b) – F(a) любой из первообразных функций F(x) + С при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом, и обозначается:

Таким образом

, где

a - нижний предел интеграла,

b – верхний предел интеграла.

Для вычисления определённого интеграла нужно найти соответствующий неопределённый интеграл, в полученное его выражение подставить вместо x сначала верхний, а затем нижний пределы определённого интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй.

Свойства определённого интеграла

1. , где С - константа

2.

3.

Практическая работа № 8 Тема: «Решение дифференциальных уравнений».

Цель работы: овладение практическими навыками и закрепление теоретического материала по решению дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Студент должен:

знать:

• определение дифференциального уравнения (ДУ);

• понятия порядка ДУ, решения ДУ, общего решения ДУ и частного решения ДУ;

• определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными;

• алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными;

• определение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка;

уметь:

• решать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными;

Подготовка к работе:

1. Повторить определение ДУ.

2. Что такое общее решение ДУ?

3. Что такое частное решение ДУ?

4. Повторить что такое ДУ с разделяющимися переменными.

5. Способы решения ДУ с разделяющимися переменными

Контрольные вопросы:

1. Что такое ДУ, порядок ДУ, степень ДУ?

2. Какое ДУ называется ДУ с разделяющимися переменными?

3. Порядок решения ДУ с разделяющимися переменными?

Задание: 1. Решить дифференциальное уравнение.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения.

Вариант	1	2
1		, у(0) = 1
2		, у(4) = 1
3		, у(-2) = 4
4		, у(1) = 2
5		, у(-1) = 1
6		, у(0) = 1
7		, у(/4) = 0,5
8		, у(-2) = 4
9		, у(1) = 2
10		, у(/2) = 1

Порядок выполнения:

Пример 1: Найти общее решение дифференциального уравнения = .

Решение: =

Так как , то получим .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные (у – влево, х - вправо): .

Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения:

Рассмотрим решение каждого из интервалов отдельно:

.

Тогда, получим .

Ответ: .

Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения

, у(1) = 2

Решение: 1) найдем общее решение дифференциального уравнения.

Т.к. это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, то разделим переменные:

Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения:

Рассмотрим решение каждого из интервалов отдельно:

Тогда получим:

- общее решение дифференциального уравнения.

2) найдем частное решение дифференциального уравнения:

Так как у(1) = 2, то подставим начальные условия в общее решение ДУ:

Тогда частное решение дифференциального уравнения будет:

Ответ: