Раздел 3. Математическая статистика
Наблюдавшиеся значения хi (i = 1, …, n) случайной величины Х называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Набор вариант хi, полученных в результате n опытов, называется выборкой объема n. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант хi вариационного ряда и соответствующих им частот ni или относительных частот μi. Несмещенной оценкой для среднего значения m служит выборочная средняя
(28)
где n – объем выборки;
хi – варианты выборки.
Несмещенной оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
(29)
Несмещенной оценкой для среднего квадратичного отклонения служит стандартное отклонение
(30)
т. е. корень квадратный из выборочной дисперсии S2.
Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной доверительной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.
Для оценки среднего значения m случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, при неизвестной дисперсии σ2 служит доверительный интервал
(31)
где
– выборочное среднее;
tα находится по таблице распределения Стьюдента для α = 1 – γ по заданным n и γ [1];
S – оценка среднего квадратичного отклонения;
n – объем выборки.
4. Контрольная работа
Задание 1
Вариант 0
В партии готовой продукции из 20 изделий имеется 8 повышенного качества. Наудачу отбирают пять изделий. Какова вероятность, что среди них будут:
а) четыре повышенного качества;
б) хотя бы одно повышенного качества;
в) ни одного повышенного качества.
Вариант 1
Собрание, на котором присутствуют 30 человек, в том числе 12 женщин, выбирает делегацию из пяти человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут:
а) две женщины;
б) не менее четырех мужчин;
в) ни одной женщины.
Вариант 2
Среди 25 студентов группы, в которой 10 юношей, разыгрываются 7 билетов в кино. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся:
а) хотя бы одна девушка;
б) три юноши;
в) ни одного юноши.
Вариант 3
Устройство состоит из 17 элементов, 3 из которых изношены. При включении устройства включаются случайным образом 4 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся:
а) неизношенные элементы;
б) хотя бы один неизношенный элемент;
в) два изношенных элемента.
Вариант 4
В ящике 11 одинаковых изделий, причем 6 из них окрашены. Наудачу извлечены 4 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных изделий будут:
а) одно окрашенное изделие;
б) три окрашенных изделия;
в) хотя бы одно окрашенное изделие.
Вариант 5
В лаборатории работают 7 мужчин и 5 женщин. Наудачу выбирают шестерых человек. Найти вероятность того, что среди отобранных будут:
а) три женщины;
б) хотя бы один мужчина;
в) только мужчины.
Вариант 6
В партии из 100 деталей имеется 12 бракованных. Наудачу берут из партии 4 детали. Найти вероятность того, что среди выбранных деталей окажутся:
а) ни одной бракованной;
б) ни одной годной;
в) две бракованные детали.
Вариант 7
В конверте лежат 12 фотокарточек киноактеров и 7 фотокарточек киноактрис. Из конверта наудачу извлечены 5 карточек. Найти вероятность того, что среди извлеченных окажется:
а) одна карточка актрисы;
б) хотя бы одна карточка актрисы;
в) две карточки актера.
Вариант 8
В классе 30 учеников, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 учеников. Найти вероятность того, что среди отобранных учеников:
а) пять отличников;
б) хотя бы один отличник;
в) ни одного отличника.
Вариант 9
На полке стоят 14 книг, 8 из которых по математике. Наудачу берут 6 книг. Найти вероятность того, что среди отобранных книг:
а) три по математике;
б) ни одной по математике;
в) не менее трех по математике.
Задание 2
В первой урне а1 красных, в1 белых и с1 черных шаров. Во второй а2 красных, в2 белых и с2 черных шаров. Из первой урны взято m1 шаров, а из второй – m2. Определить вероятность того, что среди вынутых шаров будут:
а) все шары одного цвета;
б) один шар черного цвета.
Исходные данные представлены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2
Вариант |
а1 |
в1 |
с1 |
а2 |
в2 |
с2 |
m1 |
m2 |
0 |
5 |
3 |
2 |
0 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
7 |
1 |
0 |
2 |
2 |
4 |
3 |
2 |
2 |
4 |
0 |
6 |
3 |
4 |
1 |
2 |
2 |
3 |
0 |
4 |
7 |
1 |
5 |
2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
3 |
5 |
1 |
1 |
4 |
3 |
1 |
5 |
1 |
0 |
6 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
6 |
6 |
1 |
1 |
2 |
4 |
3 |
3 |
1 |
7 |
5 |
3 |
2 |
0 |
4 |
4 |
3 |
2 |
8 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
9 |
6 |
2 |
1 |
3 |
5 |
1 |
1 |
2 |
Задание 3
Для заданной СВ Х записать ее ряд распределения, найти функцию распределения (и построить ее график), математическое ожидание, дисперсию. Построить многоугольник распределения.
Вариант 0
В урне 3 черных и 7 белых шаров. Из урны пять раз наудачу извлекают шар (с возвращением перед каждым извлечением). Случайная величина Х – число вынутых белых шаров.
Вариант 1
Вероятность появления частицы в течение промежутка времени t равна 0,2. Случайная величина Х – число появлений частиц в течение четырех промежутков времени.
Вариант 2
В партии 94 % вещества является стандартным. Для анализа отбираются 6 единиц вещества. Случайная величина Х – число стандартных единиц среди отобранных.
Вариант 3
Установлено, что доля вещества, обладающего скрытым дефектом, составляет 20 %. Наугад отбирают 7 единиц этого вещества. Случайная величина Х – число дефектных единиц вещества в выборке.
Вариант 4
Бросают пять правильных монет. Случайная величина Х – число выпавших решек.
Вариант 5
Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,4. Сделано семь бросков. Случайная величина Х – число попаданий мячом при семи бросках.
Вариант 6
В урне 12 белых и 8 черных шаров. Из нее пять раз подряд достают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и перемешивают. Случайная величина Х – число извлеченных черных шаров.
Вариант 7
Стрелок делает 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Случайная величина Х – число промахов стрелка при десяти выстрелах.
Вариант 8
В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Вынули наудачу два шара. Случайная величина Х – сумма номеров вынутых шаров.
Вариант 9
Школьник играет в игру против ЭВМ. Вероятность выигрыша в одной игре равна 0,4. Случайная величина Х – число выигрышей из шести сыгранных партий.
Задание 4
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m и σ. Найти вероятность того, что случайная величина Х принимает значения:
а) из интервала a, b;
б) меньшее а;
в) большее b;
г) отличающееся от своего среднего m по абсолютной величине не больше, чем на ε.
Значения параметров заданы в табл. 3.
Т а б л и ц а 3
Вариант |
m |
σ |
а |
b |
ε |
0 |
1 |
3 |
-1 |
5 |
2 |
1 |
2 |
4 |
1 |
8 |
3 |
2 |
3 |
5 |
-1 |
11 |
4 |
3 |
4 |
6 |
1 |
14 |
5 |
4 |
5 |
7 |
- 4 |
7 |
1 |
5 |
6 |
8 |
4 |
10 |
2 |
6 |
7 |
9 |
- 4 |
13 |
3 |
7 |
8 |
2 |
4 |
16 |
4 |
8 |
9 |
3 |
14 |
19 |
5 |
9 |
10 |
4 |
9 |
12 |
1 |
Задание 5
По заданной выборке
а) составить вариационный ряд и статистический закон распределения;
б) построить полигон;
в) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
г) вычислить несмещенные оценки среднего
значения m, дисперсии σ2
и среднего квадратичного отклонения
σ:
S2, S;
д) найти доверительный интервал для среднего значения m с доверительной вероятностью γ.
Вариант 0
52, 34, 49, 44, 45, 45, 37, 36, 46, 36; γ = 0,8.
Вариант 1
–19, –31, –26, –40, –28, –35, –25, –44, –41, –39; γ = 0,9.
Вариант 2
99, 100, 112, 95, 107, 113, 98, 106, 110, 97; γ = 0,95.
Вариант 3
–41, –41, –34, –38, –50, –45, –49, –46, –47, –47; γ = 0,98.
Вариант 4
8, 7, 19, 26, 11, 11, 15, 18, 12, 18; γ = 0,99.
Вариант 5
30, 27, 19, 30, 27, 29, 21, 34, 31, 23; γ = 0,8.
Вариант 6
–9, –17, –16, –14, –8, –25, –17, –14, –18, –15; γ = 0,9.
Вариант 7
59, 60, 57, 57, 58, 57, 59, 56, 59, 57; γ = 0,98.
Вариант 8
–105, –101, –112, –89, –92, –97, –91, –91, –97, –101; γ = 0,99.
Вариант 9
210, 204, 211, 215, 215, 197, 201, 205, 201, 204; γ = 0,95.