Заключение

Представленные в учебном пособии материалы направлены на сближение теории геометрии с инженерной практикой. Их изучение будет способствовать развитию навыков пространственного мышления.

Нами было показано применение основных положений при изображении предметов на чертежах. Линии связи позволяют говорить о проекционной связи. Ортогональное проецирование дает возможность строить виды, разрезы, сечения. Если говорить о дополнительных видах, наклонных и ломаных разрезах, то возможность их построения была представлена в разделе «Преобразования комплексного чертежа». Знание основных геометрических свойств тел вращения необходимо для дальнейшего применения, поскольку большинство деталей получают путем обработки на токарных станках.

Наконец, остается пожелать студентам успешного использования полученных знаний и навыков при выполнении технических чертежей.

Библиографический список

1. Дергач, В. В. Начертательная геометрия : курс лекций / В. В. Дергач, А. К. Толстихин, И. Г. Корнева. – Красноярск : Сибирский федеральный ун-т; Политехнический ин-т, 2007. – 87 с.

2. Дергач, В. В. Начертательная геометрия / В. В. Дергач, А. К. Толстихин, И. Г. Борисенко. – Красноярск : Сибирский федеральный ун-т, 2010. – 124 с.

3. Дергач, В. В. Начертательная геометрия: учеб. пособие / В. В. Дергач, А. К. Толстихин, И. Г. Борисенко. – 3-е изд., перераб и доп. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011. – 144 с.

4. Бубенников, А. В. Начертательная геометрия. Задачи для упражнений / А. В. Бубенников. – М. : Высш. шк., 1981. – 296 с.

5. Бубенников, А. В. Начертательная геометрия : учебник для втузов – 3-е изд., перераб. и доп. / А. В. Бубенников. – М. : Высш. шк., 1985. – 288 с

6. Лагерь, А. И. Инженерная графика : пособие для самостоятельной работы студентов / А. И. Лагерь. – Красноярск : Изд-во Краснояр. ун-та, 1992. – 456 с.

7. Левицкий, В. С. Машиностроительное черчение : учебник для студентов вузов / В. С. Левицкий. – М. : Высш. шк., 1988. – 352 с.

8. Павлова, А. А. Начертательная геометрия : учебник для студентов высших учебных заведений/ А. А. Павлова. – М. : ООО «Издательство Астрель», 2001. – 304 с. : ил.

9. Рябинов, Д. Л. Задачи по начертательной геометрии / Д. Л. Рябинов, В. Д. Засов. – М. : Гос. изд. технико-теорет. литературы, 1955. – 95 с.

10. Фролов, С. А. Начертательная геометрия : учебник для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. / С. А. Фролов. – М. : Машиностроение, 1983. – 240 с.

11. Фролов, С. А. Сборник задач по начертательной геометрии / С. А. Фролов. – М. : Машиностроение, 1980. – 141 с.

12. Интернет. Википедия

Предметный указатель

ось

60

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Основные понятия 5

и положения 5

В начертательной геометрии, как и в любой другой области математики, для упрощения записи условий и решения задач принята система условных обозначений объектов и действий. Ниже приведены используемые в процессе изучения дисциплины символы и условные обозначения. 5

1.1. Обозначения и символика 5

1.2. Свойства евклидова пространства 7

и его реконструкция 7

2. метод проекций 15

2.1. Центральное проецирование 15

2.2. Параллельное проецирование 17

2.2.1. Косоугольное проецирование 17

2.2.2. Ортогональное проецирование 19

2.2.3. Инвариантные свойства ортогонального проецирования 21

3. ТОЧКА 32

32

3.1. Система координат. 32

Координатные плоскости проекций 32

3.2. Проекции точки и ее координаты 33

3.3. Комплексный чертеж точки. Эпюр Монжа 34

3.4. Конкурирующие точки 42

и определение их видимости 42

4. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 46

4.1. Основные положения и понятия 46

4.2. Прямоугольная изометрическая проекция 48

4.3. Прямоугольная диметрическая проекция 60

5. ЛИНИИ 68

Следующим геометрическим объектом является линия и изображение ее проекций. Далее по тексту показано многообразие типов линий и их различные положения относительно плоскостей проекций. 68

5.1. Общие определения 68

5.2. Изображение линий на комплексном чертеже. 69

Прямая линия, отрезок 69

5.3. Линии (отрезки) общего положения 70

5.4. Определение натуральной величины и углов наклона 74

к плоскостям проекций 74

(правило прямоугольного треугольника) 74

5.5. Прямые частного положения 79

5.5.1. Прямые уровня 80

5.5.2. Проецирующие прямые 84

5.6. Взаимное расположение линии и точки 90

5.7. Взаимное положение прямых 92

6. Поверхности, плоскости 102

6.1. Общие сведения 102

6.2. Определение плоскости 103

6.3. Способы задания плоскости 103

на комплексном чертеже 103

Задание: построить три проекции плоскости общего положения (a  b). 110

Рис. 6.7 111

6.3.2. Плоскости частного положения 111

6.4. Признак принадлежности точки 118

и прямой плоскости 118

6.5. Признак параллельности прямой и плоскости 120

Пример 21 121

Задание: построить фронтальную проекцию отрезка ВС, параллельного плоскости (а ´ b) (рис. 6.19). Определить видимость отрезка. 121

6.6. Пересечение прямой и плоскости 123

а б 126

Рис. 6.24 126

6.6.2. Определение точки пересечения прямой с плоскостью 127

способом вспомогательных геометрических объектов 127

6.7. Главные линии плоскости 131

6.7.1. Линии уровня 131

5.7.2. Линия наибольшего наклона к плоскости проекций 135

6.8. Признак перпендикулярности 142

прямой и плоскости 142

На рис. 6.43 показана прямая а, принадлежащая плоскости Ω. Линия d, перпендикулярнаяе прямой а, не будут перпендикулярны к плоскости Ω. Таким образом, для того чтобы провести перпендикуляр к плоскости, одной линии недостаточно. Более того, линия перпендикулярная к параллельным линиям, расположенным в плоскости, не будет являться признаком перпендикулярности прямой к плоскости. Рассмотрим линию b, которая будет перпендикулярна к двум пересекающимся прямым – а и е. Линия b будет перпендикулярна к плоскости, так как она перпендикулярна второй прямой е и совершенно очевидно, что любая прямая, принадлежащая плоскости Ω, будет перпендикулярна к прямой b. В частности, прямая g, скрещивающаяся с прямой b, будет перпендикулярна ей. Отсюда можно сформулировать признак перпендикулярности прямой к плоскости. 142

143

Рис. 6.43 143

6.9. Взаимное расположение плоскостей 144

5.9.1. Признак совпадения плоскостей 144

6.9.2. Признак параллельности плоскостей 145

6.9.3. Пересечение плоскостей 146

6.9.4. Признак перпендикулярности двух плоскостей 149

7. Преобразование 151

комплексного чертежа 151

7.1. Общие положения 151

7.2. Способ замены плоскостей проекций 152

7.3. Преобразование комплексного чертежа 157

способом вращения вокруг проецирующей прямой 157

7.4. Преобразование комплексного чертежа 160

способом плоскопараллельного перемещения 160

7.5. Преобразование комплексного чертежа 162

способом вращения вокруг прямой уровня 162

8. Многогранники 165

8.1. Общие определения 165

a 167

167

8.2. Пересечение прямой и многогранника 168

8.3. Определение линии пересечения многогранника 168

с проецирующей плоскостью 168

8.4. Определение точек пересечения прямой линии с многогранником 171

8.5. Определение линии пересечения многогранника 174

с плоскостью общего положения 174

177

Решение задачи можно провести двумя способами: методом ребер и методом граней. Давайте рассмотрим два метода 177

8.5. Определение линии пересечения многогранников 180

9. Поверхности вращения 182

9.1. Поверхности вращения общего вида 182

9.2. Частные виды 183

поверхностей вращения 183

9.3. Пересечение тел вращения с плоскостью 198

частного положения 198

9.3.1. Пересечение цилиндра с плоскостью, 198

не перпендикулярной его оси 198

9.3.2. Пересечение конуса плоскостью 200

9.4. Линии пересечения поверхности вращения 208

плоскостью общего положения 208

9.5. Линия пересечения тела с вырезом или многогранником 211

8.6. Пересечение прямой линии 211

с поверхностью вращения 211

211

10. определение линии пересечения 217

поверхностей вращения 217

Линии пересечения поверхностей тел вращения определяются при помощи поверхностей-посредников, которые пересекают исследуемые тела по наиболее простым (с точки зрения построения) линиям. Точки пересечения этих линий будут общими для пересекающихся тел и посредника, а значит будут принадлежать искомой линии пересечения поверхностей. Рассмотрим применение в качестве поверхностей-посредников плоскость и сферу. 217

10.1. Способ геометрических посредников 217

10.2. Определение линии пересечения при помощи 224

сфер-посредников 224

10.2.1. Способ концентрических сфер 224

Пример 36 229

10.2.2. Способ эксцентрических сфер 230

10.3. Теорема Монжа 234

11. Развертки поверхностей 238

11.1. Основные понятия 238

11.2. Основные свойства развертки поверхностей 238

11.3. Развертка поверхности многогранников 241

11.3.1. Способ нормального сечения 241

11.3.2. Способ раскатки 242

11.3.3. Способ треугольников (триангуляции) 244

11.4. Построение приближенных разверток 245

развертывающихся поверхностей 245

11.5. Условная развертка поверхностей 245

Заключение 246

Библиографический список 247

Учебное издание

Дергач Владимир Викторович

Толстихин Анатолий Константинович

Борисенко Ирина Геннадьевна

Корниенко Владимир Владимирович

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

4-е изд. перераб. и доп.

Редактор Т. М. Пыжик

Корректор

Компьютерная верстка Н. Г. Дербеневой

Подписано в печать 28.06.2011 г. Печать плоская. Формат 60х84/16

Бумага офсетная. Усл. печ. л. 8,37. Тираж 500 экз. Заказ № 3630

Редакционно-издательский отдел

библиотечно-издательского комплекса

Сибирского федерального университета