10.2. Определение линии пересечения при помощи сфер-посредников

Способ определения линии пересечения при помощи сфер-посредников основан на том, что при пересечении сферой, центр которой находится на оси вращения другой поверхности, их линией пересечения будет окружность. Данный способ можно применять, когда оси вращения поверхностей пересекаются (способ концентрических сфер) или когда пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость симметрии (способ эксцентрических сфер).

10.2.1. Способ концентрических сфер

При совпадении осей вращения двух поверхностей результатом их пересечения будет окружность, так как все точки обеих поверхностей вращаются вокруг одной и той же оси вращения.

Способ концентрических сфер применяется в случае пересекающихся осей вращения поверхностей. Тогда, помещая центр сферы-посредника в точку пересечения осей, получаем с каждой из поверхностей линию пересечения со сферой как плоскую фигуру (окружность), так как сфера имеет бесконечное количество осей вращения, проходящих через ее центр.

Н а рис. 10.5 показано пересечение конуса и цилиндра, оси вращения которых пересекаются.

Рис. 10.5

Линию пересечения обоих тел определяем методом концентрических сфер, в основе которого лежит простота построения линии пересечения сферы с обоими телами. Сферу располагаем таким образом, чтобы при пересечении с конусом она образовывала линию – окружность. Это возможно, если центр сферы расположим на оси вращения конуса. Тогда оси вращения конуса и сферы совпадут (у сферы бесчисленное количество

осей вращения, пересекающихся в центре). Точно такое же условие должно быть удовлетворено и для второй поверхности (в данном случае – для цилиндра).

Таким образом, центр сферы-посредника должен лежать одновременно на осях вращения обоих тел. Этому условию удовлетворяет точка пересечения осей вращения заданных пересекающихся тел.

На рис. 10.6 показана сфера, центр которой располагается в точке пересечения осей вращения конуса и цилиндра. Для большей наглядности показаны два варианта: рис. 10.6, а – поверхности прозрачные; рис. 10.6, б – поверхности непрозрачные.

На рис. 10.7 показано определение линии пересечение цилиндра и конуса для фронтальной проекции, которая распадается на две кривые – АВ и DС. Центр сфер-посредников – точка пересечения осей конуса и цилиндра – точка О.

а) Определим точки верхней кривой (рис. 10.7): точки А и В находим на пересечении главных меридианов (образующих) конуса и цилиндра. Точка А – наивысшая точка. Впишем сферу в цилиндр, фронтальная проекция, которой показана красным цветом. На этой сфере находится

а

б

Рис. 10.6

низшая точка верхней линии пересечения и высшая точка на нижней линии пересечения. Пересечение указанной сферы конуса будет по окружностям 1-2 – сверху и 3-4 на нижней части конуса. Эта же сфера коснется цилиндра по точкам 5-6. Пересечение проекций окружностей сферы и цилиндра дают фронтальные проекции точек E и G. Радиус сферы фронтальная проекция которой показана синим цветом выбран произвольно, для нахождения промежуточных проекций точек. Сфера пересечет конус по окружностям 7-8 и 9-10, а цилиндр – 11-12 и 13-14. Это позволит определить проекции точек F, М и Н.

Зеленая сфера касается основания конуса, при помощи которой определяется фронтальной проекции точки N. Точка D является самой низшей и находится на продолжении образующих цилиндра и конуса.

Соединяем плавными кривыми низшие и высшие проекции полученных точек показываем фронтальные проекции верхней и нижней линии пересечения.

Рис. 10.7

На рис 10.8 показано определение горизонтальных проекций линий пересечения. Эти проекции покажем на поверхности конуса. Причем верхнюю линию определяем при помощи меридианов. Нижняя линия пересечения на горизонтальной плоскости проекций определим при помощи параллелей.

Рис. 10.8