Некоторые сведения из теории случайных процессов и теории оценок.

Все, что говорилось, говорилось для детерминированных сигналов. В действительности сигналы случайны. Мы употребляем термин оценивание интуитивно.

Напоминание о корр. функции

Степень сходства сигнала и его сдвинутой копии.

1. Значение КФ при τ=0 равно энергии сигнала, т.е.

2. КФ четная по аргументу.

3. Значение КФ при τ=0 является максимальным.

4. Размерность КФ В²·е.

ВКФ (CCF).

Свойства:

1.

2.

3. ВКФ при τ=0 ничем не выделяется.

4.

Для КФ

КФ и спектр взаимосвязаны.

Сигналы, как правило, случайны: формулу их мы незнаем точно, мгновенные значения сигналов заранее неизвестны и могут быть предсказаны с вероятностью р<1. Характеристики случайных сигналов являются статистическими (или стохастическими).

Математическая модель случайно меняющегося во времени сигнал называется случайным процессом.

Случайный процесс X(t) задается ансамблем реализаций X₁(t), X₂(t), …, X_k(t), … - одновременное значение случ. процесса случ. величина X₁(t).

Функции распределения мы уже знаем

ФРВ (CDF) – distib F(x,t)=P(X(t)≤x).

ПР (PDF) - dessity

Математическое ожидание (mean value).

Дисперсия (variance) – средняя мощность отклонений случайного процесса от среднего m_x(t):

СКО (стандарт, standart deviation)

Корреляционные функции случайных процессов.

Ковар. функция.

центр. величина

Корр. функция

КФ характеризует степень статистической связи значений случайного процесса при t=t₁ и t=t₂.

K_x – correlation R_x – covariance.

Для центрированных процессов совпадают.

Мерой линейной статистической связи между случайными величинами является коэффициент корреляции

Равенство коэффициента корреляции нулю свидетельствует об отсутствии линейной статистической связи, т.е. говорят о некоррелир-ти.

х₁ и х₂ зависят друг от друга, но r₁₂ = 0.

Стационарные случайные процессы.

Стат. характеристики одинаковы во всех временных сечениях.

Эргодичный процесс. Усреденение по ансамблю равняются усреднению по времени.

Спектральные характеристики случайных процессов.

СПМ (PSD)

Или усреднить по многим реализациям

Теорема Винера-Хинчина.

Интервал корреляции.

Эфф. ширина спектра.

. На уровне 0,1 W_max.

Соотношение неопределенности ~ 2π.

Белый шум.

По теореме Винера-Хинчина

всюду, кроме τ = 0. σ² → ∞.

Вероятностные и спектральные характеристики не связаны. Белый шум может иметь произвольную функцию распределения.

Спектр дискретного случайного процесса.

Все, что говорилось по поводу дискретного преобразования Фурье и спектров дискретных сигналов, относилось к сигналам детерминированным. В действительности же мы сталкиваемся с необходимостью спектрального анализа случайных дискретных процессов.

Для определения спектральных характеристик случайного процесса используют тот же подход, то и в аналоговом случае, а именно уреднение спектра мощности:

(1)

Черта сверху означает усреднение по ансамблю реализаций. Если процесс эргодический, спектр мощности для всех реализаций одинаков и выполнят усреднение по ансамблю необязательно.

Выполнять вычисления непосредственно по формуле (1) неудобно, поэтому ее следует преобразовать. Для этого раскроем квадрат модуля:

Суммируемые слагаемые зависят от разности индексов суммирования k и m, поэтому можно преобразовать двойную сумму в одиночную:

Поскольку при любом l

окончательно получаем

Последнее выражение представляет собой дискретный аналог теоремы Винера-Хинчина: спектр дискретного случайного процесса является Фурье-преобразованием от его корреляционной функции.