Растекание спектра.

При ДПФ мы предполагали (умалчивая), что последовательность отсчетов анализируемого сигнала является периодически продолженной вперед и назад во времени. При этом, если значения начальных и конечных отсчетов сигнала сильно отличаются, при периодическом повторении на стыках сегментов возникают скачки, из-за которых спектр сигнал расширяется.

Это явление называется растеканием спектра (spectrum leanage). Проиллюстрируем на примере сигнала

Если анализируемая последовательность содержит точно целое число периодов гармонического сигнала, т.е. если - целое число, то гармонический сигнал s(t) продолжается без скачков, а если подставить в формулу ДПФ получим

Таким образом ДПФ сигнала s(k) в этом случае содержит только 2 отсчета, отличных от нуля. Но если не целое, то спектр становится значительно более богатым.

Таким образом подчеркнем еще раз, что причиной растекания спектра является именно периодическая продолжительность сигнала.

Можно рассуждать иначе: считаем сигнал не периодически продолженным, но тогда у него есть ряд спектральных составляющих, они попадают в боковые лепестки ДПФ, но не точно.

Для уменьшения растекания используют окна или взвешивание.

Весовые функции.

Для уменьшения явления растекания спектра при ДПФ применяют весовые функции (weighting function), которые также называются окнами (windows). В этом случае перед расчетом ДПФ сигнал умножается на весовую функцию w(k), которая должна спадать к краям сегмента. Тогда формула ДПФ принимает вид:

Роль весовой функции можно рассматривать с разных точек зрения. Сначала проанализируем ситуацию во временной области. Если мы используем весовую функцию, которая имеет максимум в середине (при k=N/2) и плавно спадает к краям (k=0, k=N-1), это приведет к ослаблению эффектов, связанных со скачками сигнала при периодическом повторении последовательности, т.е. к уменьшению растекания спектра.

Тот же вывод можно сделать и в частотной области. Умножение сигнала на весовую функцию соответствует свертке спектров сигнала и окна. Это приводит к тому, что линии содержащиеся в спектре несколько расширятся. Однако становится возможным уменьшить уровень боковых лепестков спектральной функции, что и является целью весовой функции.

Если трактовать ДПФ как фильтрацию, при использовании весовой функции w(k) получаются частотные характеристики вида

Выбирая весовую функцию (окно) определенным образом, можно уменьшить уровень боковых лепестков частотных характеристик фильтров, соответствующих отдельным каналам ДПФ. Платой за это является расширение центрального лепестка частотной характеристики («резиновость» АЧХ).

Принципы спектрального анализа.

Спектральный статистический анализ – это метод обработки сигналов, который позволяет выявить частотный состав сигнала, т.е. распределение энергии сигнала внутри какого-то частотного диапазона (в общем случае, в интервале частот от 0 до ∞). Задачами спектрального анализа являются:

1) обнаружение гармонических составляющих в анализируемом сигнале;

2) оценивание их параметров.

Для решения указанных задач требуются высокая разрешающая способность по частоте и высокая статистическая точность оценивания параметров. Эти требования принципиально противоречивы.

Пусть последовательность x(n) представляет собой дискретный случайный процесс. Обозначим через Е истинное значение некоторого параметра случайного процесса x(n). В результате обработки отсчетов случайного процесса вычисляется не действительное значение параметра Е, а некоторая его статистическая оценка . Оценки также являются случайными величинами.

Смещением оценки называется математическое ожидание отклонения оценки от ее действительного значения Е:

Оценка называется смещенной, если

Квадрат среднегеометрической ошибки оценивания

где D – дисперсия оценки.

Оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой характеристике при бесконечном увеличении длины выборки N анализируемого процесса, называется состоятельной, т.е.

,

р – вероятность того, что модуль отклонения оценки от действительного значения оцениваемого параметра будет меньше сколь угодно малого наперед заданного числа ε₀. Для выполнения этого требования достаточно, чтобы среднеквадратичная ошибка стремилась к нулю при N→ ∞. Оценка будет состоятельной, если при N→ ∞ ее дисперсия стремится к нулю и одна является несмещенной. При оценивании параметров случайных процессов, в том числе спектральных параметров, надо стремится к получению состоятельных оценок.

Методы спектрального анализа делятся на:

- непараметрические, где используется только информация, заключенная в отсчетах сигнала, без каких-либо дополнительных предположений (их иначе называют классическими),

- параметрические, которые подразумевают наличие некоторой математической модели анализируемого случайного процесса.

Спектральные характеристики случайных процессов.

К каждой реализации в принципе можно применить преобразование Фурье. Для каждой реалтзации бдут различные спектры. Нас же интересуют усредненные характеристики случайных процессов.

Спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр го математического ожидания, т.е. спектр его детерминированной составляющей. Для центрированных процессов m_x(t)=0 и Почему? Фазы спектральных составляющих в реализации реал.-х случайны.

Что не зависит от фазы? Мощность. Можно рассм. СП мощности случ. процесса.

Возьмем реал. x(t) ограничив ее временем [-T/2, T/2]. Энергия Е_Т по равенству Парсеваля

Разделим на Т, получим среднюю мощность

При Т→ ∞ средняя мощность стремится к некоторому пределу

есть СПМ или просто СМ, PSD.