Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания зада­ны следующими уравнениями:

; (4)

Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т. е. ω₀₁ = ω_о2 = ω₀, тогда

; (5)

Уравнения (5) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные зна­чения t, то можно определить координаты х и у, а совокупность коорди­нат и есть траектория. Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимости у = f(x), для получения которой следует исключить время из уравнений (5). Произведя математические преобразования, получим уравнение эллипса:

. (6)

Т аким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпен­дикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты, материаль­ная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5).

Из выражения (6) вытекают следующие частные случаи:

1) , где k = 0, 1, 2, ….; , , тогда

(7)

Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая сим­метричному расположению его относительно осей координат (рис. 6, а). Из (7) при A₁ = А₂ = R (рис. 6, б) получаем, как част­ный случай, уравнение окружности радиусом R:

x² + y² = R²; (8)

2) ) , где k = 0, 1, 2, ….; , , тогда

, (9)

или после преобразований

, , (10)

Это уравнение прямой, в которую вырождается эллипс (рисунку 7, а соответствует знак «+» в уравнении (10); рисунку 7, б — знак «-»).

П ри сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории колеблющейся материальной точки, названные фигурами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот — и разности начальных фаз φ₀₁ - φ₀₂ слагаемых колебаний (рис.8).

Фигуры Лиссажу используют для настройки радиоизмерительной и ремонтной аппаратуры.

I I. Приборы и принадлежности.

1. Электронный милливольтметр.

2. Звуковой генератор ГЗ-53.

3. Звуковой генератор Г3-112.

4. Осциллограф.

5. Источник переменного тока.

6. Трансформатор.

7. Соединительные провода.

III. Выполнение работы.

Осциллограф позволяет наблюдать и измерять периодические и импульсные электрические сигналы в диапазоне амплитуд от 0,01 В до 500 В в диапазоне частот периодических сигналов от 0 до 20 МГц, параметров импульсов длительностью от 0,1 мкс. до 0,5с с частотой следования от 200 Гц до 500 кГц.

На лицевой панели расположены следующие органы управления:

1. Ручки "Яркость" - ☼, "Фокус" - и "Астигматизм" - служат для установки необходимой яркости и четкости изображения.

2. Ручкой "Освещение шкалы" - - регулируют освещение шкалы.

3. Ручки, обозначенные двухсторонними стрелками, служат для перемещения изображения по вертикали и горизонтали.

4. Ручка "Усиление" (плавная регулировка чувствительности усилителя канала У) служит для точной установки калиброванной чувствительности.

5. Сдвоенные ручки установки чувствительности V/дел: большая ручка - переключение диапазонов; малая (►)- регулировка чувствительности усилителя.

6. Тумблер для переключения входов усилителя У.

7. Клавиша "Сеть" для включения и выключения питания прибора.

8. Переключатели "Синхронизация" устанавливают вид синхронизации.

9. Регулятор "Режим запуска" устанавливает чувствительность запуска генератора развертки.

Работа с усилителем 

Калибровка чувствительности производится с помощью собственного калибратора амплитуды. Калиброванное напряжение подается на вход осциллографа.

Для калибровки усилителя Y устанавливают один из диапазонов развертки, обеспечивающий две горизонтальные параллельные линии изображения прямоугольного напряжения калибратора. Совместными действиями ручек "Усиление" («V/Дел») и "Смещение по вертикали" («↕») добиваются размаха сигнала по вертикали в 6 дел. шкалы.

Переключатели режима работы входов усилителя:

«~» - на вход усилителя исследуемый сигнал поступает через разделительный конденсатор (закрытый вход);

- на вход усилителя исследуемый сигнал поступает с постоянной составляющей (открытый вход);

« » - вход усилителя подключен к корпусу.

Переключатели режима работы усилителя:

«I» - на экране наблюдается сигнал канала I;

«II», «X—Y» - на экране наблюдается сигнал канала II;

«I ± II» - экране наблюдается алгебраическая сумма сигналов каналов I и II;

«…» — на экране наблюдаются изображения сигна­лов обоих каналов, их переключение осуществляется с часто­той 100 кГц;

«→ →» — на экране наблюдаются изображения сигналов обоих каналов, их переключение осуществляется в конце каждого прямого хода развертки.

переключатель инвертирования сигнала во II канале в положениях:

— фаза сигнала не меняется;

— фаза сигнала меняется на 180⁰;

переключатели изменения усиления каналов в 10 раз, сов­мещенные с ручкой «↕», в положениях:

«xl» — коэффициент отклонения канала соответствует по­ложению аттенюатора;

«х10» — коэффициент отклонения канала соответствует по­ложению аттенюатора, умноженному на 10.

При работе с уже откалиброванным усилителем нельзя трогать ручку "Усиление" во избежание ухода калибровки.

Работа с генератором развертки

Генератор развертки может быть запущен или самим исследуемым сигналом при внутреннем запуске или внешними запускающими сигналами при внешнем запуске. Для запуска развертки внутренним сигналом, ручки переключателя "Синхронизация" устанавливаются в одно из 3-х положений внутренней синхронизации:

1. "От сети" - когда исследуется напряжение, связанное с частотой сети.

2. "=" - для низких частот от 0 Гц до 500 Гц и исследования изменений постоянных напряжений

3. " ~" - для переменных напряжений частотой от 20 - 30 Гц до 3 Гц.

Для осуществления внешней синхронизации необходимо переключатель "Синхронизация" поставить в одно из 3 положений для внешней синхронизации.

Переключатель источника синхронизации в положениях:

«ВНУТР I» — развертка синхронизируется сигналом с пер­вого канала;

«ВНУТР I, II» — развертка синхронизируется сигналами обоих каналов (или одного);

«0,5-5 ВНЕШН» — развертка синхронизируется внешним сигналом амплитудой 0,5-5 В;

«5-50 ВНЕШН» — развертка синхронизируется внешним сиг­налом амплитудой 5-50 В;

«X—Y» — вход усилителя X отключается от генератора раз­вертки и подключается к 1-му каналу усилителя Y, работа ге­нератора развертки прекращается.

Переключатель режима работы входа синхронизации в положениях:

« ~ » — закрытый вход синхронизации;

— открытый вход синхронизации.

— открытый вход синхронизации, подключается фильтр нижних частот.

Переключатель полярности синхронизирующего сигнала в положениях:

« + » — развертка синхронизируется положительным перепадом запускающего сигнала;

«—» — развертка синхронизируется отрицательным пере­падом запускающего сигнала;

— гнездо для подачи внешнего синхронизи­рующего сигнала.

Органы управления разверткой.

Необходимая длительность развертки на 1 см шкалы экрана устанавливается с помощью переключателя "Длительность" и "Множитель" («Время/Дел»). При использовании плавной регулировки длительности калибровка развертки изменяется и не соответствует значениям фиксированных диапазонов. В крайнем правом положении ручка "Длительность плавно" («►») фиксируется механически. Только в этом положении производится калибровка фиксированных диапазонов длительности развертки.

потенциометр «↔» — обеспечивает перемещение луча по горизонтали.

переключатель «xl, хО,2» — увеличивает скорость разверт­ки в положении «хО,2» в 5 раз.

С помощью ручек "Режим запуска" («ЖДУЩ») и "Уровень запуска" («АВТ») устанавливается ждущий или автоколебательный режим развертки, а также уровень напряжения запускающего генератора развертки.

Измерение напряжений

Точность измерений напряжения с помощью осциллографа невысока, так как весьма значительные погрешности вносят калибратор и субъективное определение размаха напряжения на экране.

Однако измерение напряжений с помощью осциллографа имеет и свои достоинства, в частности возможность проведения измерений напряжения в широком диапазоне частот и измерение мгновенных значений напряжения при любой форме сигнала.

При откалиброванном усилителе "Y" измерение напряжений проводится согласно правилам использования усилителя "Y": сигнал подключается ко входу усилителя и измеряется исследуемый размах изображения по вертикали в дел (см). Величина исследуемой амплитуды будет равна произведению измеренной величины изображения, умноженной на цифровую отметку постоянной.

И змерение частоты, периода

Калиброванные фиксированные длительности развертки прибора дают возможность путем измерения по шкале расстояния по горизонтали определять интервалы времени или период сигнала с погрешностью не превышающей  5 % при измеряемом размере от 90 мм до 40 мм. Методика измерения заключается в следующем: используя деления шкалы, измеряем горизонтальное расстояние между двумя точками (рис.9), интервал времени между которыми необходимо измерить. Потом расстояние по шкале в сантиметрах умножается на цифровое значение индекса установленной длительности развертки.

Зная период, всегда можно определить частоту исследуемого сигнала, поскольку

. (11)

Кроме того, хорошо оправдавшим себя на практике является способ, при котором подсчитывается расстояние в сантиметрах целого числа периодов сигнала, укладывающихся наиболее близко к 9 см длины шкалы. Тогда искомая частота сигнала равна

(12)

где n - число периодов;

l - расстояние в см;

Т_р- длительность развертки

Измерение фазового сдвига с помощью фигур Лиссажу

Данный метод используется для определения фазовой разности между двумя сигналами одной частоты. Он удобен для сигналов частотой до 100 Гц.

Е сли подать синусоидальное напряжение одинаковой частоты на вертикальные и горизонтальные пластины осциллографа, то на экране будет наблюдаться фигура Лиссажу, соответствующая сложению подаваемых на пластины взаимно-перпендикулярных колебаний. Т.к. частоты складываемых колебаний равны, то катодный луч должен высвечивать на экране осциллографа эллипс.

Ориентация эллипса по отно­шению к осям координат зависит от угла, соответствующего разности фаз φ. Так, например, при φ = 0, π/2, π и т. д. оси эллипса совпадают с осями координат.

Тогда sin φ можно найти разделив А на Б (рис.10), где Б — максимальное отклонение по вертикали:

. (13)