2.2 Измерение электрических сопротивлений мостиком Уитстона.

Цель работы: Определить сопротивление проводника проверить закономерности последовательного и параллельного соединений.

I. Теоретическое введение.

С огласно закону Ома для однородного участка цепи (рис.1), сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.

(1)

Величина сопротивления R зависит от формы проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. В частном случае для проводника, сечение которого постоянно по всей длине

(2)

где l-длина проводника;

S – площадь его поперечного сечения;

ρ – удельное сопротивление, зависящее от свойств проводника.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электропроводимостью или удельной проводимостью.

(3)

Н а практике электрические цепи никогда не состоят из однородных проводов постоянного сечения, а представляют собой совокупность различных проводников, определенным образом соединенных между собой.

Рассмотрим два проводника, включенные в цепь последовательно (рис.2)

Сила тока I в обоих проводниках одинакова. Напряжения U₁ и U₂ на этих проводниках различны

U₁= IR₁ , U₂= IR₂ (4)

Поэтому (5)

При последовательном соединении напряжение на каждом из проводников пропорционально его сопротивлению. Полное напряжение U равно сумме этих напряжений

U= U₁ + U₂ (6)

Так как U= IR, (7)

то R=R₁+ R₂ (8)

В случае n проводников, соединенных последовательно, общее сопротивление определяется по формуле:

R=R₁+ R₂ + …+ R_n= (9)

В случае параллельного соединения проводников R₁ и R₂ (рис.5) ток разветвляется на два. При этом

I = I₁ + I₂ (10)

U₁ = U₂= U (11)

U= I₁ R₁ (12)

U= I₂ R₂ (13)

Следовательно (16)

При параллельном соединении силы токов в отдельных проводниках обратно пропорциональны их сопротивлениям. Подставив формулы (12), (13) в (10), учитывая, что

(1)

получим

(17)

Если параллельно соединены n проводников, то общее сопротивление определяется по формуле:

(18)

II. Приборы и принадлежности.

1. Неизвестные сопротивления.

2. Реохорд.

3. Нуль-гальванометр.

4. Магазин сопротивлений

5. Ключ.

6. Соединительные провода.

III. Выполнение работы.

В работе для измерения сопротивления используется мостовой метод.

Измерительная мостовая схема проставлена на рис 4.

С опротивления r₁,r₂ ,r₃ ,r₄ образуют замкнутый четырехугольник. В одну из диагоналей (АВ) включен источник тока ε. В другую диагональ (СD) включен чувствительный гальванометр G.

Само название схемы - "измерительный мост" - обусловлено включением в цепь нуль-гальванометра.

Цепь гальванометра образует мост, соединяющий противоположные вершины четырехугольника. Сопротивления r₁, r₂ ,r₃ ,r₄ называются плечами моста.

При произвольном соотношении сопротивлений r₁,r₂ ,r₃ ,r₄ в плечах моста при замкнутом ключе К через гальванометр будет протекать ток. Однако можно подобрать такие соотношения сопротивлений плеч, при которых ток в гальванометре становится равным нулю. В этом случае мост называют уравновешенным.

Найдем условие равновесия моста.

По закону Ома напряжение в плечах моста определяется по формулам:

,

(19)

,

Так как в случае равновесия моста ток через гальванометр не течет, то точки С и D имеют одинаковые потенциалы (φ_с = φ_d). Значит и напряжения и будут равны. Аналогично . С учетом формул (19) получим

и (20)

Разделим формулы (20) друг на друга и учтем, что I₃ = I₄ и I₁ = I₂ (т.к. ток в точках С и D не разветвляется). Получим:

(21)

Из этого соотношения можно получить величину любого из четырех сопротивлений, включенных в плечи моста, если известны три других сопротивления.

В се принадлежности, необходимые для проведения работы смонтированы на передней панели установки (рис.5).

Реохорд (на рис.5.-АВ) - деревянный брусок с нанесенными на него миллиметровыми делениями длиной 500 мм, вдоль которого по направляющим может двигаться ползунок. Металлическая пластинка, укрепленная на ползунке клеммой D, может скользить ребром по проводнику АВ, образуя с ним контакт. Концы проводка закреплены клеммами А и В. Проволока имеет постоянную вдоль всей длины площадь сечения S и изготовлена из сплава, имеющего большое удельное сопротивление ρ.

К клеммам А и В через ключ К подключен источник питания ε. Через R на схеме обозначен магазин сопротивлений, сопротивление которого

задается . R_x - одно из неизвестных сопротивлений.

Сравнение принципиальной мостовой схемы рис. 4 с рабочей схемой (рис.5), показывает, что сопротивлениями r₁ и r₂ являются сопротивления частей АD и DВ проволоки, сопротивлением r₃ - магазин сопротивлений R, а r₄ -неизвестное сопротивление R_x.

Сопротивление частей проволоки АD и DВ найдем по формуле (2):

; ,

где l₁=АD, l₂=DВ.

Подставим все сопротивления в формулу (21)

Сократив на ρ и S получим:

(22)

Откуда неизвестное сопротивление:

. (23)

1. Собрать схему согласно рис. 5, включив вместо R_x одно из неизвестных сопротивлений.

2. Поставить скользящий контакт (D) на середину реохорда.

3. Магазином сопротивлений установить какое-нибудь сопротивление. После проверки схемы включить ключ К.

4. Наблюдая за стрелкой гальванометра, нажать на очень короткое время (доли секунды) кнопку К_н. Если стрелка гальванометра будет резко отброшена в ту или другую сторону, то это значит, что включенное сопротивление магазина значительно отличается от неизвестного R_x. Изменить сопротивление магазина так, чтобы отклонение стрелки гальванометра при замыкании кнопки было как можно меньшим.

5. Перемещая, ползунок в ту или другую сторону (около середины), добиться того, чтобы при замыкании кнопки стрелка гальванометра оставалась неподвижной.

Примечание: подвижный контакт реохорда должен оставаться при этом в средней трети проволоки, иначе точность измерений окажется пониженной.

6. Измерить длины l₁ и l₂. Записать их в таблицу. В ту же таблицу записать величину сопротивления R магазина.

7. Повторить измерения еще два раза, изменив сопротивление магазина. Записать соответствующие им l₁ и l₂ в таблицу.

8. Посчитать для каждого измерения неизвестное сопротивление по формуле (23).

9. По трем полученным значениям R_x найти среднее значение.

10. Повторить все измерения для другого неизвестного сопротивления.

11. Соединить эти сопротивления последовательно и найти их эквивалентное сопротивление следуя пунктам 1-9.

12. Таким же образом измерить эквивалентное сопротивление параллельно и последовательно соединенных сопротивлений.

13. Для расчета погрешностей найти эквивалентные сопротивления для последовательного и параллельного соединения R_хl и R_х2 расчетным путем. Для этого средние значения для R_хl и R_х2, найденные из опыта, подставить в формулы:

1). Последовательное соединение: R = R_cp1 + R_cp2

2). Параллельное соединение:

14. Определить абсолютную и относительную погрешности для каждого вида соединений, сравнив среднее значение сопротивления, полученное опытным путем (см. таблицу), с соответствующим ему значением, рассчитанным по формуле (п.13).

		R (Ом)	l1 (см)	l2 (см)	Rx (Ом)	Rсp (Ом)
Первое сопротивление Rx1	1
	2
	3
Второе сопротивление Rx2	1
	2
	3
Последовательное соединение сопротивлений Rxl и Rx2	1
	2
	3
Параллельное соединение сопротивлений Rx1 и Rx2	1
	2
	3