2.13. Измерение мощности переменного тока и сдвига фаз между током и напряжением.

Цель работы: изучение зависимости от параметров электрической цепи переменного тока.

I. Теоретическое введение.

Р ассмотрим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 1, а). Напряжение на за­жимах аb цепи, создаваемое внешним источником, изменяется по гармоническому закону с амплитудой U_m:

U = U_m cos ωt (1)

Из векторной диаграммы для такой цепи (рис. 1, б) видно, что сила тока отстает по фазе от напряжения на φ. Поэтому закон изменения силы тока запишется:

I = I_m·cos (ωt-φ) (2)

Из векторной диаграммы также можно определить φ:

(3)

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

P = UI

С учетом формул (1) и (2) получим:

. (4)

Используя формулу тригонометрии

,

Преобразуем выражение (4):

. (5)

Как видно из этой формулы, мощность может быть как положитель­ной (т. е. энергия от источника тока поступает в цепь), так и отрицательной (убыль энергии в цепи).

Практически важно знать среднюю мощность за период, так как толь­ко эта величина характеризует энергию, потребляемую электрической цепью в единицу времени.

Определим среднюю работу за период.

С учетом формулы (4) получим:

Т.к. интеграл любой периодической функции за период равен нулю, то . Следовательно .

Т.к. , то:

(6)

Как видно из (6), средняя мощность, потребляемая цепью пере­менного тока, зависит от сдвига фаз между силой тока и напряжением, т. е. от cos φ.

Поэтому cos φ называют коэффициентом мощности.

Рассмотрим два частных случая.

1. Если в цепи имеется только активное сопротивление (X_L = 0 и Х_С = 0) или наблюдается резонанс напряжений (Х_L = Х_с), то φ = 0 и

. (7)

Средняя мощность, выделяемая в цепи, будет наибольшей при задан­ных значениях U_m и I_m.

2. Если в цепи нет активного сопротивления (R = 0), то из рис.1,б и формулы (3) cледует tgφ→∞ и , cos = 0. Из (6) имеем . Средняя мощность, потребляемая цепью с реактивным сопротивлением, равна нулю. Энергия, которая поступает в цепь от источника за половину периода возвращается источнику в течение следующей половины периода.

На рис. 2 представлены графики изменения напряжения, тока и мощности со временем и показана штриховой линией средняя мощность для трех значений φ: а) φ = 0°; б) φ = 60°; в) φ = 90°.

П лощади заштрихованных фигур численно равны энергии, которая поступает от источника в цепь (если площади положительны, т. е. расположены выше оси времени) или от цепи в источник (если площади отрицательны, т. е. расположены ниже оси времени).

Электроэнергия используется наиболее полно в том случае, когда она не возвращается источнику. Поэтому на промышленных предприятиях с большим потреблением энергии при наличии в сети индуктивностей (трансформаторы, электромоторы и т. д.) увеличение cos φ является важной задачей.

Преобразуем (7) и сравним ее с соответствующей формулой для постоянного тока:

и (8)

Назовем действующей или эффективной силой переменного тока такой постоянный ток, который выделяет в цепи с сопротивлением R количество теплоты, одинаковое с переменным током: , откуда

(9)

Аналогично определяется действующее (эффективное) напряжение переменного тока:

(10)

Таким образом, среднюю мощность можно определить по формуле:

. (11)

Электроизмерительные приборы показывают действующее значение силы тока и напряжения. Так, напряжение в сети переменного тока, равное 220 В, означает действующее значение. Амплитуда напряжения при этом . Это обстоятельство необходимо учитывать, в частности, при расчете изоляции сети.