§ 2. Графические представления

При решении задачи на первом этапе часто полезно начертить «рисунок» для того, чтобы более ясно увидеть компоненты задачи. Особенно это полезно для описания отношений, так как записанные в виде множества упо­рядоченных пар отношения нелегко расшифровываются.

Отношения — это множества, обладающие определен­ной структурой; их элементы имеют несколько компо­нент, и поэтому, в принципе, мы можем использовать диа­граммы Венна для их изображения. Хотя этим методом и можно воспользоваться, особенно при описании некото­рых больших множеств чисел, существуют методы, ко­торые более эффективны в общих ситуациях (включаю­щих, в частности, бинарные отношения на небольших множествах). В этом параграфе мы кратко рассмотрим некоторые из них. Для описания этих методов использу­ем множество

X = {а, b, с, d}

и отношения I_X, U_X и R, где

R = {(a, b), (а, с), (b, d), (с, е), (е, b)}.

Р ис. 2.2

Вначале рассмотрим метод, относящийся к традици­онной аналитической геометрии. Начертим пару взаимно перпендикулярных осей (ОХ — горизонтальная ось, а OY — вертикальная ось) и на каждой отметим точки, представляющие элементы множества X (рис. 2.2, а). Теперь в правом верхнем координатном углу отметим точки с координатами (х, у), у которых х Х и у Y. Множества, соответствующие l_X, U_X и R, изображены на рис. 2.2, b, с и d.

О сновной недостаток этого метода заключается в том, что при увеличении |Х| трудно увидеть элементы в обла­сти и установить соответствие с точками, обозначающими отношения. Чтобы преодолеть этот недостаток, можно опустить точки и соединить стрелкой x и у , когда (х, у) принадлежит отношению (рис. 2.3). Ди­аграмма, представляющая U_X, получилась довольно запу­танной, но это естественно, поскольку число элементов в U_X

Рис. 2.3.

Рис. 2.4.

увеличилось. С другой стороны, отношения I_X и R представлены наглядно, и легко увидеть их области опре­деления и значений. Диаграмма для U_X наиболее неудоб­на в месте пересечения осей. Теперь, когда не использу­ются координаты в областях определения и значений для расстановки элементов, отношения (как в первом мето­де) можно начертить параллельными. Поэтому, исполь­зуя параллельные вертикальные линии и двигаясь слева направо (линия слева является областью определения), мы получаем диаграмму, изображенную на рис. 2.4. Здесь стрелки не требуются, так как мы знаем, что от­ношения идут от области определения к области значе­ний.

Э то приводит к двум возможностям: мы можем или заменить стрелки прямыми линиями, или заменить две линии, изображающие области определения и значений, простой совокупностью точек. (Например, точка c в области определения является той же самой, что и точка, представляющая c в области значений.) Это показано на диаграмме, изображенной на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Итак, обозначены наиболее важные методы графиче­ского изображения бинарных отношений. Они будут использоваться в оставшейся части книги. Обсуждение гра­фических методов, связанных с соотношениями, мы про­должим в гл. 7.

Упражнение 2.2.

1. Начертить диаграмму, представляющую отношение из упражнения 2.1, 1.

2. Начертить диаграмму, представляющую отношение N (см. упражнение 2.1, 5) на улице, имеющей десять до­мов. Как изменится диаграмма, если улица является ту­пиком?