X ∉ ø при любом х.

Второе множество, определение которого зависит от задачи, называют универсальным множеством.

Определение. Универсальное множество (обозна­чается ξ) есть множество всех рассматриваемых в дан­ной задаче элементов.

Ограничение ξ в этом случае помогает избежать труд­ностей, подобных тем, которые возникали при рассмотре­нии «множества» F примера 1.1; в любом случае боль­шинство элементов несущественно в каждой данной задаче. Например, размеры «Английского словаря», несом­ненно, неинтересны, если рассматривается поведение от­дельной программы на Фортране.

Определение. Два множества А и В не пересекаются, если А В = ø.

Определение. В каждом случае, когда ξ задано, определим дополнение множества А (обозначается А') как

А' = ξ \А = {х: х ∉ А}.

Из определений ø, ξ и А' следует справедливость тож­деств

A А'= ξ, А А' = ø.

В § 4 будет показано, что для данного ξ эти тождества достаточны, чтобы однозначно определить А'. Пример 2.3. Пусть

«ξ -{1,2,3,4}, A = {1, 3, 4}, В = {2, 3}, С = {1,4}.

Из определений легко найти, например, А', В С, С\А и т. д. Однако может понадобиться исследовать более сложные выражения, включающие две или более опера­ций. Поскольку в этих случаях встает вопрос, как опреде­лить порядок, в котором мы должны осуществлять эле­ментарные операции над множествами, будем использо­вать скобки. Каждое выражение, заключенное в скобки, должно быть выполнено перед тем, как его результат может быть использован в других вычислениях. Напри­мер, в (А В)' пересечение ({3}) вычисляется раньше, чем дополнение ({1,2,4}). Этого соглашения, очевидно, достаточно. Однако, чтобы избежать такого множества скобок, мы не будем требовать скобок, когда хотим произвести операцию дополнения перед любой из операций с множествами { , , \, Δ}. Поэтому АΔВ' означает А (В') и т. д. Следовательно,

А В' = А {1, 4} = {1, 4},

(А В)' = {3}' = {1, 2, 4},

(В\А) C = {2} C = {1, 2, 4}. //

Читатель может быть удивлен, почему изложение по­строено на понятии множества, а не числа. Действитель­но, до сих пор мы использовали числа только как эле­менты множеств. Это делалось лишь для того, чтобы чи­татель познакомился с объектами, с которыми ему при­дется работать. Дело в том, что существуют множества более сложные, чем числа; мы можем получить числа из множеств, но не наоборот. Однако для многих приложе­ний последующей теории необходимо сделать точные утверждения о некоторых специальных множествах чи­сел. Чтобы обеспечить основу, с помощью которой будут конструироваться такие множества, определим множество N целых положительных чисел (натуральных чисел):

N = {1,2,3, … }.

Точное определение множества N вместе с арифмети­ческими операциями + и * и его упорядочивание будут даны ниже. Однако в настоящей главе мы будем предпо­лагать, что читатель знаком с некоторыми свойствами N. Аналогично Z определяют как множество всех целых чисел:

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Конечно, множества N и Z не могут быть выписаны явно (они достаточно велики), но в настоящее время мы должны понимать «...» как «и так далее».

Рассмотрим теперь множество

A = {1, 2…, n} = {x:x N,l≤x≤n}.

Оно имеет n элементов. Будем говорить, что мощность (или размер, норма, длина) этого множества есть п. Это обозначается как

|А| = card(A)= п.

Далее любое множество B, которое имеет то же число элементов, что и A, имеет такую же мощность, и, конеч­но, эти элементы не надо пересчитывать. Для небольших множеств достаточно легко пересчитать элементы, но для других множеств (например, N) это может быть невоз­можно. Далее мы дадим строгое, но в то же время неформальное правило для вычисления количества эле­ментов.

Определение. Говорят, что множество X конечно, если X = ø или если для некоторого n N существует множество {1, 2, …, n} такое, что оно имеет то же самое число элементов, что и X. Если X ≠ ø и никакого п не может быть найдено, то X называют бесконечным.

Сейчас, когда мы ввели некоторые определения, мож­но сформулировать несколько упражнений. Чтобы сде­лать множества легко записываемыми, мы снова будем использовать числа и буквы для элементов, но будем помнить, что те же операции могут быть применены к произвольным множествам.

Упражнение 1.2.

1. Пусть

ξ = {1, 2, 3, 4}, Х = {1, 5},

Y ={1, 2, 4}, Z = {2, 5}.

Найти множества:

а) X Y'; б) (X Z)U Y ';

в) Х (Y Z);г) (X Y) (Х Z)'; д) (X Y)';e) X' Y '; ж) (Х Y)'; з) (X Y) Z; и) X (Y Z); к) X\Z; л) (X\Z) (Y\Z).

2. Пусть

ξ = {а, b, с, d, е, f}, А = {а, b, с}, В = {f, e, c, a}, C = {d, e, f}.

Найти множества:

а) A\C; б) B\C; в) С\B;

г) A\B; д) A' В; е) B А'; ж) A С; з) С А; и) С Δ А.

3. Даны два произвольных множества А и B такие, что А B = ø. Что представляют собой множества А\В и B\A?

4. Даны два произвольных множества С и D такие, что С D' = ø. Что можно сказать o C D и C D?

5. Дано произвольное множество X. Найти множества:

а) Х Х'; б) X X'; в) Х\Х'.

5. Какие из следующих утверждений справедливы:

а) 0∉ ø; б) ø = {0}; в) |{ø}| = 1;

г) {{ ø }} {{{ ø }}}; д) |{{ø}}| =2?

Это вопрос коварный. Хотя это может показаться простым или надуманным, пустое множество и его свойства явля­ются достаточно важными. Если вы не совсем уверены в ответе, проработайте вопрос, используя аналогию порт­феля вместо множества. Таким образом, {{}, {}} — порт­фель, содержащий два пустых портфеля, и, следователь­но, |{{}, {}}| = 2 и т. д.

7. Пусть М а N — два конечных компьютера (см. пример 2.2) с фиксированными программами. Далее пусть А — множество значений данных, доступных М и таких, что если х е А и машина М работает с входным словом х, то М останавливается и выдает результат. Ана­логично пусть В — множество значений данных, которые приводят N к остановке и выдаче результата. Если лю­бой элемент А доступен М a N, что мы может сказать об элементах В? Объяснить эту ситуацию с помощью сим­волов и пояснить бесполезность этой информации.

8. Объяснить в терминах множеств, почему пример 2.1 верен.

9. При определении операции объединения подчерки­валось, что мы использовали включение «или». Как в терминах множеств можно выразить исключающее «или»?

10. Часто в вычислениях будут использоваться арифметические операции для образования новых множеств. Так, если А и В — множества чисел, то

А + В = {х: х = а + b, а А, b В).

е) {1, 2}\{1, 3};

ж) {2, 4}/{2};

з) {2, 4}\{2};

и) {2, 4} - {2}.

Аналогично определяются операции *, —, / между мно­жествами чисел. Найти следующие множества:

а) {1,2} + {1,3};

б) {1,2} {1,3};

в) {1,2} * {1,3};

г) {1, 2} {1, 3};

д) {1, 2} - {1,3};

11. Для того чтобы быть в состоянии применить тех­нику операций с множествами к конкретной задаче, мы неизбежно должны на некотором этапе взять «нематема­тическое» утверждение и перевести его в математическое. Обычно (но не всегда) это делает описание более ком­пактным. Однако математическое выражение будет всегда математически строгим, тогда как исходное выражение может таким не быть. (Где это случается, требуется най­ти, чего же недостает в первоначальной формулировке.) Теперь надо:

а) попытаться сформулировать следующие утвержде­ния на языке множеств:

• даны множества А, В а С; определить множество, включающее в себя только два из этих множеств;

• решить предыдущую задачу при условии, что А, В и С взаимно не пересекаются

• даны множества V, W, Y, X и Z. Определить множество, включающее по крайней мере два из множеств V, W, X и Y и не включающее Z;

б) аналогично описать словами следующие множества:

(J (K L))' (H\L), (P R Q)\(P (Q\R)), ((E\F) F\E))' G.