Глава 1. Множества

§ 1. Множества н их спецификация

Как уже отмечалось во введении, нам хотелось бы построить математическую теорию достаточно строго, од­нако при этом возникают некоторые трудности с обосно­ванием. Вместо этого мы начнем с описания таких на­чальных понятий, как множество. Хотя материал может показаться простым, это делается для того, чтобы чита­тель мог свободно разобрать примеры, приведенные в конце параграфа.

Множество — это совокупность определенных различа­емых объектов таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит этот объект данному множе­ству или нет.

Множество, которое подчиняется лишь такому ограни­чению, может содержать объекты почти любой природы.

Например:

• множество всех подземных станций Лондона;

• множество левых ботинок;

• множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и т. д.;

• множество символов, доступных специальному пе­чатающему устройству;

• множество кодов операций конкретного компью­тера;

• множество зарезервированных слов языка Паскаль.

В конечном счете, нас будут интересовать следующие множества:

• множество идентификаторов, встречающихся в определенной программе;

• множество операций в той же самой программе;

• множество операций, которые могут быть выполне­ны после данной инструкции в той же программе.

Однако эти множества также являются достаточно сложными для исследования. Поэтому для большинства примеров мы будем использовать некоторые абстрактные множества, такие как множества чисел,

Множества обычно обозначают прописными буквами, например А, и специфицируют одним из двух путей. Ес­ли множество содержит несколько элементов, то мы про­сто записываем все его элементы. Например, если мы определим А как множество всех целых чисел строго между 6 и 10, то это можно записать следующим обра­зом:

А - {7, 8, 9}

и прочитать как

«А — множество, содержащее 7, 8, 9». Здесь символ «=» используется в определенном смы­сле: А равно множеству... Далее будет использоваться высказывание «равно ли Л...». Поэтому мы должны предложить процедуру установления справедливости это­го утверждения. Другими словами, множество можно охарактеризовать определенными свойствами, и, следова­тельно, множество А можно определить как

А = {х: х — целое число и 6 < х < 10}

и прочитать как

«А есть множество всех х таких, что. Множеству А принадлежат только те элементы, которые являются целыми числами, большими 6 и меньшими 10, т. е. 7, 8 и 9, и, следовательно, мы имеем 7, 8, 9, как и ранее.

Множества часто рассматривают как «неупорядочен­ные совокупности элементов», хотя иногда полезно под­черкнуть, что, например,

^{{7, 8, 9} = {8, 9, 7} = {9, 8, 7} = …;}

мы не делаем никакой оговорки о порядке, в котором рассматриваются элементы, поэтому было бы неправиль­ным допускать какой-либо определенный порядок.

Для любого заданного объекта можно определить, принадлежит ли он множеству А. В частности, если чис­ло принадлежит множеству, то будем говорить, что «оно является элементом множества». Так, например, если 7 является элементом множества А, то это утверждение может быть записано следующим образом:

« ».

Утверждение «6 не является элементом А» будем обозначать как

« ».

Символ происходит от греческой буквы е. Отрица­ние обозначается через Такое обозначение отрицания операции (или операционного символа) является общим в математике и часто будет использоваться в дальнейшем.

Надо подчеркнуть, что следовало бы обратить боль­шее внимание на спецификацию множеств. Для каждого множества должна быть записана его спецификация. Процесс образования множества может продолжаться бесконечно долго. В результате получается множество, соответствующее определению. Частичная спецификация может быть полезной в том случае, когда не ясно, при­надлежит данный элемент множеству или нет.

До сих пор нам встречались символы {:}, {,„}, и

Их применение кажется достаточно простым, однако оно требует определенных навыков, которые будут проиллю­стрированы на следующих примерах.

Пример 1.1. Какие из приведенных определений множества являются правильными:

A = {1, 2, 3},

B = {5, 6, 6, 7},

C = {x: x A},

D = {A, C},

E = {x: x = 1 или x = {y} и y E},

F = (множества, которые не являются элементами самих себя} = { x: x – множество и х x}?

Если число членов множества А легко вычисляется и среди элементов множества нет повторений, то определе­ние верно.

Множество В выглядит также правильным, за исклю­чением лишь того, что число 6 встречается дважды. Мы можем проверить, принадлежит ли элемент множеству или нет. Таким образом, это наиболее важное требование в определении множества выполнено. Следовательно, мы может рассматривать эту запись как верную и эквива­лентную {5, 6, 7}, Однако в этой ситуации возникают сле­дующие проблемы. Если мы рассмотрим первоначальное определение В и выбросим одно из чисел 6 из множества, то мы, очевидно, будем иметь 6 В и 6 В. Возникает противоречие. Поэтому мы будем рассматривать повторе­ние символов в определении множеств как упоминание одного и того же символа, а его дублирование как недосмотр; удаление повторяющихся символов образует осно­ву для некоторых дальнейших математических рассуж­дений.

Множество А содержит числа; это может вызвать не­доумение, так как числа не существуют. Более точно, мы используем символы чисел; эти символы называются так же, как и числа. Поэтому В — множество имён, и мы обычно используем имена, чтобы представить объекты (элементы), на которые ссылаемся. В вычислениях име­на имеют особое значение, особенно в изучении семанти­ки программных языков (смысла программ). Здесь не место входить в детальное обсуждение этих проблем; до­статочно указать ловушки и необходимость адекватных спецификаций рассматриваемых объектов.

Возьмем, например, множество

X = {«Введение в Паскаль»,

«Основы структурных данных», «Введение в Паскаль»}.

Это — множество названий двух книг с одним элементом, по невнимательности записанным дважды, или же это — множество трех книг, две из которых имеют одно и то же название? Если верно последнее, то две книги «Введение в Паскаль» следует разделить каким-либо способом. Из данной информации нельзя выяснить правильный ответ, поэтому в данном случае следует быть осторожным.

Определение С также справедливо как А, так как, если х А, то х С и, если х А, то х С. Множество С очень велико: оно содержит «всё», за исключением чи­сел 1, 2 и 3. Обозначение «всё» выделено и, как мы скоро увидим, «опасно» с математической точки зрения.

Так как определения D, А и С представляют множе­ства, то отсюда получаем, что определение D также спра­ведливо. Заметим, что это — множество множеств (ниче­го неверного в этом нет!) такое, что оно имеет только два элемента, в частности 1 D, даже если 1 А и А D. Это легко проверить, так как 1 А, 1 С а только А и С являются элементами D.

Множество Е является первым примером рекурсивно определяемого множества; оно определяется (частично) в терминах самого себя. Конструктивный процесс продол­жается бесконечно, поэтому мы должны иметь правило для определения элементов. Мы не можем записать их явно. Заметим, что Е не определяется полностью в тер­минах Е. Мы должны знать о множестве что-то, что не зависит от определения; в данном случае это то, что . Имеем:

1 А, поэтому {1} E,

{1} E, поэтому {{1}} E,

{{1}} E, поэтому {{{1}}} E и т.д.

Хотя конструктивный процесс неограничен, беря любой элемент и располагая достаточным временем, можно опре­делить, содержится ли этот элемент в Е.

Перейдем теперь к F; это достаточно трудная задача. Чтобы увидеть, почему F не может существовать, мы сначала допустим существование, а затем продемонстри­руем, что существует особый элемент (обозначим его че­рез у) такой, что мы не можем определить, у F или у F. Вообще исследование «неудобного» примера, па котором мы можем показать логический изъян, проводит­ся нелегко; однако в данном случае мы можем использо­вать само множество F. Чтобы прояснить дело, давайте обозначим это множество через G. Если, как мы предпо­лагаем, F — искомое множество, то или G F, или G F. Рассмотрим два возможных случая:

а) G F. Тогда G удовлетворяет условию содержания, т. е. G Ф G, и, следовательно, G ∉ F;

б) G F говорит о том, что G не удовлетворяет условию вхождения в F, и, следовательно, G F.

Следовательно, во всех случаях мы приходим к про­тиворечию. Поэтому F не может существовать. Где же была сделана ошибка? Множества множеств, вероятно, разрешаются, и бесконечно большие множества (напри­мер, рассмотренное выше множество Е) также разреша­ются; однако с «множеством всех множеств» нельзя ра­ботать в обычной теории множеств — это требует другого рода математики. Эта аномалия теории множеств из­вестна как парадокс Рассела. Если мы уже имеем мно­жество Н, то можно определить J:

Таким образом, мы будем использовать только мно­жества, которые могут быть явно записаны или же по­строены путем хорошо определенных процессов. Поэтому множества не так тривиальны, как они могли вначале показаться. Однако, следуя приведенным выше правилам, работа с ними не будет особо трудной. Попытайтесь сде­лать самостоятельно следующее упражнение.

Упражнение 1.1.

1. Рассмотреть по крайней мере две возможные ин­терпретации множества

{Смит, Смит, Браун}.

Определить каждую из них настолько однозначно, на­сколько это возможно.

2. Рассмотреть следующие четыре множества. Выяс­нить, как записи этих множеств могут быть упрощены и какие из них эквивалентны. Предложить все возможные интерпретации, удовлетворяющие описанным выше пред­положениям:

а) {1, 2, 3, 4}; б) {I, II, III, IV, V};

б) {1, один, one, uno, ein}; г) {5, V, пять, five}.

3. Проверить справедливость утверждений

«Это утверждение неверно» и «я лгун».

Какие слова в утверждении требуют собственного (т. е. математически точного) определения для того, что­бы сделать ответы математически строгими?

4. Пусть X — множество {1, 2}, а У —множество {х: x = y + z; у,z , Определить в явном виде мно­жество Y. Какие это множества:

{у: у = х + z; х, z X) и {у: x = y + z;x,z X)?

5. Предположим, что х является элементом, а не мно­жеством. Тогда у ∉ х для любого у, и отсюда следует, что х∉ х. Можно ли упростить множество {х, {х}, {{х)}}1 Что можно сказать относительно {х, у, {х, у}}?

6. Пусть А — множество всех целых чисел. Описать словами множество

Х = {х: х А и х = 1 или (х - 2) X}.