§ 4. Линейная алгебра

В большинстве элементарных учебников векторы оп­ределяют как объекты, обладающие «величиной» и «на­правлением». Такой подход берет начало из приложений в геометрии и физике. Эти вопросы формально будут об­суждаться в п. 4.2. Дадим более общее определение век­тора, для которого понятия величины и направления не­существенны.

4.1. Векторные пространства о линейные преобразо­вания.

Определение. Пусть F — поле, а V — множество с бинарной операцией +. Предположим, что для каждого а F и х V определен элемент ах V, Тогда, если вы­полнены аксиомы:

а) (V, +) —коммутативная группа;

б) для всех х, у F и a, b

(а + b)х = ах+ bх,

a(х + у) = ах + ау,

(ab)x = а(bх),

1_Fx = x,

где 1_F — мультипликативная единица в F, то говорят, что V является векторным пространством над F, Элементы V называются векторами, операция + называется сложени­ем векторов, а отображение

Λ: F X V → V,

определяемое соотношением Λ (а, х) = ах, называют ум­ножением вектора на скаляр. //

Векторное пространство над F может рассматриваться как тройка (V, +, Λ), удовлетворяющая приведенным выше аксиомам. Нуль векторного пространства по сложению обозначают символом 0. Из аксиом следует, что

0_Fx = 0 для всех x V,

где 0_F — аддитивная единица в F, и

а0 = 0 для всех а F.

В следующих примерах будет показано, что различные классы множеств обладают структурой векторного про­странства.

Пример 4.1.

1. Fⁿ (n N) является векторным пространном над F с операциями

(a₁, ..., a_n) + (b₁, ..., b_n) = (a₁ + b₁, ..., a_n + b_n),

a(a₁, ..., a_n) = (aa₁ ..., aa_n).

Нулем Fⁿ является вектор (0_F, ..., 0_F). Элементы a₁, ... , a_n называются компонентами вектора а = (a₁, ..., а_п).

2. Пусть Φ — множество всех отображений f: [а, b] → R. Тогда Φ является векторным пространством над R с операциями

(f + g)(x) = f(x)+g(x) для всех f, g Φ,

3. Пусть ζ, ζ ⊂ Φ — множество всех непрерывных отображений из Φ. Тогда ζ является векторным про­странством с операциями, определенными в Φ. //

Множество U, U ⊆ V, называется векторным подпро­странством пространства V, если оно является вектор­ным пространством с операциями из V.

Множество {(a₁, ..., а_n-1, 0_F): a_i F} является век­торным подпространством пространства Fⁿ; ζ является векторным подпространством пространства Φ. Если U, U ⊆ V,— векторное подпространство пространства V, то 0 U.

Векторные пространства Rⁿ (1 n 4) возникнут естественным образом в гл. 10. Операции в Rⁿ имеют гео­метрическую интерпретацию. Для пространства R² это показано на рис. 5.3. Если r = (x, y) ∊ R², то компонен­ты х и у измеряются вдоль ортогональных линий, начи­ная с точки пересечения О (рис. 5.3, а). Компоненты х и у откладываются вдоль линий ОХ (ось х) и OY (ось у) соответственно. Эти линии проведены под углом 90° друг к другу, и угол между ними измеряется против часовой стрелки от оси ОХ. Такую систему осей назы­вают правосторонней системой координат в R². Вектор­ное сложение в R² геометрически соответствует правилу параллелограмма, как это показано на рис. 5.3, с.

Геометрия векторных пространств Rⁿ будет рассмат­риваться ниже, а сейчас мы введем понятия базиса и

Р ис. 5.3

размерности. Если V — векторное пространство над F и S s V, то сумму вида

называют линейной комбинацией векторов из S. Говорят, что конечное множество векторов {х_i: 1 i k} является линейно независимым, если

в противном случае множество является линейно зави­симым. Подмножество S ⊆ V такое, что любой элемент V представим в виде линейной комбинации элементов из S, называется порождающим множеством пространства V (или же еще говорят, что S порождает V), Упорядо­ченное линейно независимое порождающее множество пространства V называется базисом этого пространства.

Пример 4.2. В R³ вектор (5, 5, ) является ли­нейной комбинацией векторов (1, 1, 0) и (0, 0, 3), так как

(5,5, ) = 5(1,1,0)+ (0, 0,3).

Множество L = {(1, 1, 0), (0, 0, 3)} является линейно независимым подмножеством в R³, так как а(1, 1, 0) + b(0, 0, 3) = (а, а, 3b) = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 и b = 0. Однако подмножество L не является бази­сом, поскольку оно только определяет векторное подпро­странство

{(x, х, у): x, y ∊ R} ⊂ R³.

Базис B = L {(1, 0, 0)} «расширяет» L до базиса в R³. //

Легко показать, что каждый элемент векторного про­странства имеет единственное представление в фиксиро­ванном базисе, так как если V имеет базис В = {e₁,..., e_n} и

то

Однако В — линейно независимое множество. Поэтому b_i = а_i для всех i, 1 I п.

Докажем следующий важный результат.

Предложение. Пусть S = {х₁ ..., х_т) — порож­дающее множество пространства V, a L= {y₁, ..., у_n) — линейно независимое множество векторов из V, Тогда т > 1.

Доказательство. Предположим, что т < 1. Так как S порождает V, то существуют элементы а₁, ..., a_m ∊ F такие, что

y₁ = a₁x₁ + ... + а_тх_т.

Однако y₁ 0, так как L — линейно независимое множе­ство (см. упражнение 5.4), и, следовательно, не все а₁, ..., а_т равны нулю. Для определенности положим а₁ . Тогда

т. е. x₁ является линейной комбинацией {y₁, х₂, ..., х_m}. Так как S порождает V, то по доказанному выше множе­ство векторов {у₁ x₂, ..., х_m} также порождает V. Анало­гично получаем, что {y₁, у₂, хз, ..., х_m) порождает V. Повторяя этот процесс т раз, получаем, что множество {y₁, ..., y_m} порождает V. Следовательно,

где pi, ..., p_m^F не все равны нулю (так как y_m+i не может быть равно нулю). Отсюда

однако последнее невозможно, потому что {y₁, ..., у_n} — линейно независимое множество векторов. Следователь­но, m > l. //

Предложение. Пусть В и В' — базисы векторно­го пространства V над F. Тогда |В| — |В'|.

Доказательство. Пусть B = {e₁, ..., е_n} и В' = { ,..., }. Тогда из предыдущего предложения сле­дует, что n m и m п, т. е. m = п. //

Мощность базиса векторного пространства V называ­ется размерностью V и обозначается через dim(V).

Предложение. dim(Fⁿ) = n.

Доказательство. Определим В = {е₁,..., е_n}, г

и покажем, что В является базисом в Fⁿ, Очевидно, что

поэтому В порождает Fⁿ и

Следовательно, В является базисом в Fⁿ и dim(V) = |В| = п. //

Из данного выше определения следует, что базис всегда состоит из конечного числа векторов, и не во вся­ких векторных пространствах можно выделить базис (на­пример, нет Φ, ζ базиса), Понятия базиса и размер­ности можно расширить на все векторные пространства, однако такое обобщение нам не потребуется. Если про­странство V имеет базис, соответствующий данному вы­ше определению, то говорят, что пространство имеет ко­нечную размерность, а само пространство называется конечномерным векторным пространством.

Рассмотрим теперь гомоморфные отображения между векторными пространствами.

Определение. Пусть V₁ и V₂ — векторные про­странства над полем F. Говорят, что отображение Т: V₁ → V₂ линейно, если

T (x + y) = Tx + Ty, T(ax) = a(Tx).

Если V₁ = V₂, то Т называют линейным преобразовани­ем пространства V₁. //

Далее нас будут интересовать конечномерные вектор­ные пространства над R и линейные преобразования над ними. В оставшейся части главы через V будем обозна­чать векторное пространство, а через End(V)—множе­ство всех линейных преобразований V (эндоморфизмов V). Заметим, что большинство приводимых утверждений можно представить в более общем виде.

Перейдем от алгебры V к алгебре End(V) и покажем, что End(V) замкнуто по отношению к естественным операциям сложения, умножения и умножения на ска­ляр. Вначале заметим, что единичное отображение I_v и нулевое отображение 0_V являются линейными на V, так как по определению

I_v х = х для всех x ∊ V,

0_vх = 0 для всех х ∊ V,

Следовательно, для всех х, у ∊ V и λ ∊ R имеем

I_v (х + у) = x + у = I_vx + I_vy,

I_v (λ х) = λ х = λ(I_v x),

0_v(х + у) = 0 = 0 + 0 = 0_vx+ 0_v у,

0_v (λх) = 0 = М) = λ 0_vх.

Если S, T ∊ End(V), то сумма S + Т и произведение S T (композиция) определяются формулами

(S+T)x = Sx + Tx для всех x ∊ V

(S Т)х = S(Tx) для всех х ∊ V.

Отметим следующие свойства End(V) относительно при­веденных выше операций.

Предложение. Множество (End(V), , +) явля­ется кольцом с единицей.

Доказательство. Укажем основные этапы дока­зательства. Надо показать, что:

1. S, Т ∊ End(V) ⇒ S+T ∊ End (V) и S Т ∊ End (V);

2. (End(V), +) – коммутативная группа.

3. Если S, Т, U ∊ End (V), то:

4. S (T U) = (S T) U;

5. S (T+U) = S T + S U;

6. I_v T = T I_v = T. Имеем

   1. (S + T)(х + у)=S(х + у)+T(х + у)= Sх + Sу + Tх + Tу =(Sх + Tх) + (Sу + Tу) = (S + T)х+(S + T) у.

Аналогично (S + T) (λ х) = S λ x + Т λ х = λ Sх + λ Tx =

= λ (Sx + Tх) = λ (S + T)х.

Доказательство того, что S Т ∊ End (V), оставляем в качестве упражнения.

2. (S + (T+U))x = Sx + (T+U)x = Sx + (Tx+Ux) = (Sx + Tx)+Ux = (S + T)x+Ux = ((S + T)+U)x.

Следовательно, операция + ассоциативна. Элемент 0_V ∊ End (V) удовлетворяет условию

T + 0_v = 0_v + T = T для всех T ∊ End(V)

и является аддитивной единицей End (V). Для T ∊ End(V) определим отображение –T: V → V соотно­шением

(–T)х = – (Tх) для всех х ∊ V.

Легко показать, что –T ∊ End (V) и

(–T + T)= T + (–T) = 0_v.

Поэтому отображение –T является аддитивным, обрат­ным к T. Коммутативность (End(V), +) следует из ком­мутативности (V, +).

3. Утверждение следует из результатов гл, 3.

4. Для х ∊ V имеем

(S (T + U))x = S((T + U)x)=S(Tx + Ux)= =S(Tx)+S(Ux) = (S T)x + (S U)x =

= (S T + S U)x.

5. Утверждение очевидно. //

Пусть T ∊ End (V) и λ ∊ R, Определим отображение λT: V → V следующим образом:

(λT)х = λ(Tх) для всех x ∊ V. Легко показать, что λT ∊ End(V). Отображение

Λ: R × End(V) → End(V),

определяемое соотношением Λ (λ, Т) = λТ, называют ум­ножением на скаляр.

Предложение. (End(V), +, Λ) — векторное про­странство над R.

Доказательство. Из предыдущего утверждения следует, что (End(V), +) — коммутативная группа; сле­довательно, нам надо показать, что умножение на ска­ляр удовлетворяет условиям

(λ + ) T = λ T + T, λ(S + T) = λS + λT,

(λ )T = λ( T), 1_RT=T,

где λ, ∊ R и S, Т ∊ End (V). Имеем цепочку соотно­шений

((λ + )T)х = ( λ + ) (Тх) = λ (Tх) + (Tх) = (λT)х + ( T)х.

Остальные соотношения доказываются аналогично. //

Предложение. Операции умножения в кольце и умножения на скаляр Λ в End(V) удовлетворяют соот­ношению

λ(S T) = (λ S) T = S (λ T), где λ ∊ R и S, T ∊ End(V).

Доказательство. ((λ (S T))х = λ ((S Т)х) = λ (S(Tх)) = (λ S)(Tх) = ((λS) T)х,

(λ (S T))х = λ ((S T)х) = λ (S(Tх))=»

= S(λ (Tх)) = (S (λT))х. //

Алгебраические структуры, удовлетворяющие таким же свойствам, как и End (V), называют линейными алгеб­рами. Дадим строгое определение.

Определение. Четверка (X, +, , Λ) называется линейной алгеброй над R, если Λ: R X × X → X и

1. (X, +, Λ)—векторное пространство над R;

2. (X, +)— кольцо;

3. Λ и удовлетворяют условиям

λ(x₁«х₂) = (λх₁) х₂ = x₁ (λх₂)

для всех λ ∊ R и x₁, х₂ ∊ X. //

Результаты, полученные для End (V), можно сфор­мулировать следующим образом.

П р е д л о ж е н и е. End (V) с введенными выше опе­рациями является линейной алгеброй с мультипликатив­ной единицей. //

Если T ∊ End(V) и существует преобразование S: V → V такое, что

S T = T S = I_V,

то (см. упражнение 5.4) S ∊ End(V). Тогда Т называют обратимым, a S = Т^-1 — обратным к Т преобразованием. Обозначим через Aut(V) множество всех обратимых пре­образований из End (V), т. е. множество автоморфиз­мов V.

П р е д л о ж е п и е. (Aut(V), ) является группой.

Доказательство. Так как I_V ∊ Aut(V) и I_V I_V = I_V, следовательно, существует , равное I_V. Пусть S ∊ Aut(V); тогда

S^-1 S = S S^-1= I_V

Поэтому (S^-1) ^-1 существует и совпадает с S. Следова­тельно, S^-1 ∊ Aut(V). Если теперь S, T ∊ Aut(V), то

(S Т) (T^-1 S^-1) = S (T T^-1) S^-1 = S S^-1 = I_V.

Аналогично

(T^-1 S^-1) (S T) = I_V

Поэтому (S Т) ^-1 существует, и из S, T ∊ Aut(V) сле­дует, что S Т ∊ Aut(V). Ассоциативность операции уже доказана. //

4 .2. Структурные изображения в Rⁿ. Рассмотрим гео­метрическую интерпретацию пространства Rⁿ, при кото­рой понятия «направление» и «величина» для векторов имеют геометрический смысл. Вернемся к геометриче­скому изображению R². Мы видим, что если r = (х, у) ∊ R², то расстояние от точки (х, у) до (0, 0) есть (х² + у²)^1/2. Обозначим это расстояние через ||r||, которое можно рассматривать как отображение ||r||: R² → R. Оно называется длиной, модулем или нормой. Рассмотрим точки r₁ = (x₁, у₁) и r₂ = (х₂, y₂)

Рис. 5.4

(рис. 5.4). Пусть θ₁ и θ₂ — углы в интервале [0, π] меж­ду положительной полуосью ОХ и векторами r₁ и r₂ со­ответственно. Тогда расстояние между r₁ и r₂ равно ||r₁ – r₂||, а угол между ними равен θ = θ₂ – θ₁ Имеем

cos θ = cos (θ ₂ – θ ₁) = cos θ₁ cos θ₂ + sin θ₁ sin θ₂ =

Выражение можно использовать для вычис­ления расстояний и углов в R². Определим отображение

Ф: R² × R²→R

следующим образом:

Ф(r₁ и r₂) =

Тогда

Угол между двумя векторами в R² определяется одно­значно при условии, что < 0 < π. Когда = 0 или = π, то говорят, что r₁ и r₂ параллельны (коллинеарны). В прикладной математике удобно обозначать через r₁ • r₂ и называть скалярным произведением r₁ и r₂. Если r₁ 0 и r₂ 0, то r₁ • r₂ = 0 тогда и только тогда, когда = π/2; в этом случае говорят, что r₁ и r₂ взаимно ортогональны, перпендикулярны или нормальны. Ниже приведены некоторые свойства скалярного произведения.

Предложение.

а) r • r ≥ 0 и r • r = 0 тогда и только тогда, когда r = (0, 0);

б) r₁ • r₂ = r₂ • r₁ для всех r₁ , r₂ ∊ R²;

в) r₁ • (r₂ + r₃) = r₁ • r₂ + r₁ • r₃ для всех r₁, r₂, r₃ ∊ R²;

г) λ (r₁ • r₂) = (λ r₁) r₂ = r₁ • (λ r₂), r₁, r₂ ∊ R², λ ∊ R²

Доказательство.

а) Если r = (x, y) ∊ R², то r • r = (x²+y²) ≥ 0 для всех х, y ∊ R² и г • г = О тогда и только тогда, когда x = 0 и y = 0.

б) r₁ • r₂ = х₁х₂ + y₁y₂ = х₂х₁ + y₂y₁ = r₂ • r₁

Соотношения в) и г) доказываются аналогично и ос­тавляются в качестве упражнения. //

В более общем случае, если V — векторное простран­ство над R и Ф: V × V → R — отображение, удовлетво­ряющее свойствам а) — г), то (V, Ф) становится про­странством, для которого могут изучаться понятия дли­ны и угла. Отображение Ф называют внутренним про­изведением для V, а (V, Ф) —векторным пространством с внутренним произведением. В частности, если опреде­лить Ф: Rⁿ × Rⁿ → R (n ∊ N) соотношением

Ф(а, b) а • b = ,

где a = (a₁, ..., а_n), b = (b₁, ..., b_n), то отображение • бу­дет соблюдать требуемыми свойствами. Определим длину вектора a ∊ Rⁿ как

||a|| = (а • а)^1/2, а косинус угла между двумя векторами а и b как

угол лежит на отрезке [0, π].

На Rⁿ могут быть определены другие внутренние про­изведения. Внутреннее произведение, введенное выше, называется обычным или евклидовым внутренним произ­ведением. Оно дает те значения длины и угла, которые ожидались интуитивно.

Когда n = 1, ясно, что • является лишь умножением в R, и угол между двумя векторами определяют арккосинусом. Угол равен или 0, пли π в зависимости от знака ху. Норма ||•|| обобщает понятие модуля |•| в R и обладает аналогичными свойствами. Например, можно показать, что

||a|| ≥ 0 для всех a ∊ Rⁿ

||a|| = 0 тогда и только тогда, когда а = 0,

||λa|| = |λ| ||a|| для всех a ∊ Rⁿ и λ ∊ Rⁿ ,

||a + b|| ≤ ||a|| + ||b|| для всех a, b ∊ Rⁿ

Вектор a ∊ Rⁿ такой, что ||a|| = 1 (что эквивалентно а•а = 1), называется единичным вектором. Если a ∊ Rⁿ \{0}, то a/||a|| — единичный вектор, параллельный а. Единичный вектор обычно обозначается а.

Если В = { ₁, ..., _n}— базис в Rⁿ и

то базис В называется ортонормированным. Ортонорми­рованный базис в Rⁿ, определенный следующим образом:

_i = (0, ...,0,1,0, ...,0), l < i < n,

называется стандартным базисом в Rⁿ. В R² и R³ стан­дартные базисы удобно записывать в виде (i, j) и (i, j, k) соответственно. Рассмотрим следующую геометриче­скую интерпретацию этих базисов. Векторы i и j опреде­ляют правостороннюю систему осей в R², а третья ось OZ перпендикулярна плоскости, содержащей векторы i j, и направлена таким образом, чтобы концы векторов 1, J и к (в указанном порядке) определяли правосторон­нее движение (рис. 5.5). Это свойство известно как пра­вило правой руки. В системах такого типа в R³ оси на­зываются правосторонними.

Определение. Если a = (а₁, а₂, а₂) ∊ R ³ и b = (b₁, b₂, b₂) ∊ R ³, то векторным произведением а и b (обозначается а × b) по определению называют вектор а × b = (а₂b₃ — а₃b₂, а₃b₁ — а₁b₃, а₁b₂ — а₂b₁). //

Операция × может рассматриваться как отображение R ³ × R ³ → R ³.

Предложение. Если a, b ∊ R³, то

а) ||a × b|| = ||a|| ||b|| sin θ, где θ — угол между а и b;

б) вектор а × b ортогонален векторам а и b.

Доказательство.

а) ||a × b||² = (a₂b₃—a₃b₂) ²+(a₃b₁—a₁b₃) ²+(a₁b₂—a₂b₁) ² =

= — 2a₂b₃a₃b₂ + — 2a₃b₁a₁b₃ + — 2 a₁b₂a₂b₁ = ( + + ) ( + + ) — (a₁b₁+ a₂b₂ + a₃b₃) ² =

б) Легко показать, что a (a×b) = 0 и b (a×b) = 0, откуда и следует требуемый результат. //

Чтобы получить геометрическую интерпретацию а × b, заметим, что если

a=(a₁, 0,0), b=(b₁, b₂,0),

то

a×b = (0, 0, a₁b₂);

поэтому если а₁ > 0, то

и направление а × b определено таким образом, чтобы выполнялось правило правой руки относительно векторов а, b и а × b. Это правило носит общий характер, поскольку для произвольной пары векторов в правосторонней системе координат всегда можно выбрать способ пред­ставления векторов, который определяется векторами а и b. В результате векторное произведение будет иметь вид

где — единичный вектор, ортогональный а и b, с на­правлением, выбираемым по правилу правой руки. Если = 0, то векторы а

ПРЕДИСЛОВИЕ 7

ВВЕДЕНИЕ 8

ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА 11

§ 1. Множества н их спецификация 11

§ 2. Простейшие операции над множествами 17

§ 3. Диаграммы Венна 24

§ 4. Подмножества и доказательства 27

§ 5. Произведения множеств 36

ГЛАВА 2. ОТНОШЕНИЯ 39

§ 1. Основные понятия 40

§ 2. Графические представления 44

§ 3. Свойства отношений 48

§ 4. Разбиения и отношения эквивалентности 50

§ 5. Отношения порядка 54

§ 6. Отношения на базах данных и структурах данных 57

§ 7. Составные отношения 65

§ 8. Замыкание отношений 68

ГЛАВА 3. Функции 71

§ 1. Функции и отображения 71

§ 2. Обратные функции и отображения 75

§ 3. Мощность множеств и счетность 76

§ 4. Некоторые специальные классы функций 86

§ 5. Аналитические свойства вещественных функций 95

§ 6. Операции 110

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АРИФМЕТИКИ 120

§ 1. «Малая» конечная арифметика 120

§ 2. «Большая» конечная арифметика 125

§ 3. Двоичная арифметика 131

§ 4. Логическая арифметика 137

ГЛАВА 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 141

§ 1. Алгебраические структуры и подструктуры 142

§ 2. Простейшие операционные структуры 145

§ 3. Кольца и поля 148

§ 4. Линейная алгебра 160

§ 5. Решетка и булевы алгебры 180

§ 6. Замкнутые полукольца 202

ГЛАВА 6. МАТРИЦЫ 205

§ 1. Матрицы и бинарные отношения на конечных множествах 205

§ 2. Матрицы над другими алгебраическими структурами 212

§ 3. Матрицы и векторные пространства 216

Глава 7. Теория графов 227

§ 1. Вводные понятия 227

§ 2. Маршруты, циклы и связанность. 236

§ 3. Планарные графы 241

§ 4. Структуры данных для представления графа 248

§ 5. Обход графа 252

§ 6. Ориентированные графы 257

ГЛАВА 8. ЯЗЫКИ И ГРАММАТИКИ 273

§ 1. Основные понятия 273

§ 2. Грамматики с фразовой структурой 281

§ 3. Контекстно-свободные языки 292

§ 4. Понятия грамматического разбора и грамматических модификаций 298

§ 5. Грамматики операторного предшествования 314

ГЛАВА 9. КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ 318

§ 1. Общие понятия 319

§ 2. Конечные автоматы 337

§ 3. Регулярная алгебра 349

ГЛАВА 10.КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 358

§ 1. Системы координат для подмножеств R³ 360

§ 2. Преобразования 366

§ 3. Кривые и поверхности 387

Некоторые свойства векторного произведения приве­дем ниже; доказательства оставляем в качестве упраж­нений.

Предложение.

а) = ;

б) = + ;

в) = = ;

г) = = = ;

д) = ;

е) = = = = . //

Выражение часто называют тройным век­торным произведением a, b и с, а —смешанным произведением. Геометрически означает объем параллелепипеда с ребрами a, b и с.

Предложение. Множество {а, b, с} R³ линейно зависимо тогда и только тогда, когда = 0.

Доказательство. Предположим, что a, b и с ли­нейно зависимы. Тогда существуют λ, μ, σ ∊ R, не все равные нулю, такие, что

λа + μb + σс = 0.

Не ограничивая общности, предположим, что λ 0. Тогда

а = – λ ^-1 (μb + σс), а = ( ) = – λ^-1 (μb + σс) ( ) =

= – λ ^-1 [μb ( ) + σс ( )] = 0, Обратно, если —, то или

а) один из векторов а, b, с равен нулю (в этом случае результат очевиден), или

б) вектор а ортогонален .

Однако b и с ортогональны к ; поэтому а = λ'b + μ'с при некоторых λ', μ' ∊ R и а, b, с линейно зависимы. //

Закончим главу кратким рассмотрением вопросов дифференцируемости «векторнозначных» функций. Пусть на R" задана обычная норма. Определим производную функ­ции вида

Обобщая одномерный случай, скажем, что дифферен­цируема в точке t, если существует вектор F(t) = (F₁(t), …, F_n(t)) ∊ R ⁿ такой, что

при h → 0, или, что эквивалентно, если f имеет компо­ненты такие, что

при h 0. Очевидно, что каждая компонента должна стремиться к нулю при h 0, поэтому df/dt существует тогда и только тогда, когда df₁/dt ,…, df_n/dt суще­ствуют и

Другими словами, чтобы продифференцировать векторнозначную функцию, мы должны продифференцировать ее покомпонентно, Например, если f: R → R³ определена со­отношением

то

Пусть f: R → R³ и g: R → R³. Определим функции f • g: R → R и f g: R → R³. Положим

,

Дифференцирование этих функций производится следу­ющим образом:

,

Проверку этих формул оставляем в качестве упражнения. Упражнение 5.4.

1. Показать, что если V — векторное пространство над полем F, то

для всех x ∊ V,

для всех a ∊ F.

2. Представить вектор (а, 1, 3) ∊ R³, где а ∊ R, в виде линейной комбинации векторов множества

S = {(1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 4)}

и показать, что S — линейно независимое множество век­торов. Является ли S базисом в R³?

3. Показать, что если {x₁, ..., x_m} — линейно незави­симое подмножество векторного пространства V, то x_i 0 при любом i, 1 ≤ i ≤ т.

4. а) Какие из следующих преобразований являются линейными:

Т₁(х, у) = (а, у), а ∊ R\{0},

Т₂(х, у) = (λх + у, σy), λ, σ ∊ R\{0},

Т₃(х, у) = (х², 0), T₄(x, у) = (х, 0)?

б) Определить произведения Т₂ ∘ Т₄ и Т₄ ∘ Т₂.

в) Доказать, что если T ∊ End(V), то T₀ = 0.

5. а) Если V — векторное пространство, то проекцией (проектором) V называют преобразование Р: V → V, об­ладающее свойством

(Р ∘ Р)х = Рх для всех x ∊ V.

Доказать, что преобразование Р: R² → R², определя­емое соотношением

при а, b, с ∊ R и а b, является проектором в R². При каких условиях Р ∊ End(R²)?

б) Какие из определенных в п. 4. а) преобразований являются проекторами?

6. Пусть Т ∊ End (V). Нулевым подпространством (ядром) T называют множество N(Т), определяемое со­отношением

N(T)={x ∊ V: Тх = 0}.

Доказать, что N(Т) является векторным подпростран­ством V. Доказать также, что образ Т является вектор­ным подпространством V.

7. Пусть V — векторное пространство над R в Т ∊ End(V). Говорят, что Т имеет действительное собствен­ное значение λ ∊ R если существует ненулевой вектор x ∊ R такой, что

Тх = λх;

при этом х называют собственным вектором Т, соответ­ствующим собственному значению λ. а) Доказать, что если Т е End (V) такое, что

Т(х, у) = (х + ау, у),

то любой вектор вида (р, 0) при р 0 является собст­венным вектором Т. Какие у Т собственные значения?

б) Пусть Т ∊ End(V). Обозначим через V_λ множество собственных векторов Т, соответствующих собственному значению λ. Показать, что V_λ {0} является векторным подпространством V. Доказать аналогичное утверждение для N(Т).

8. Найти собственные значения и собственные векто­ры преобразований Т₁, Т₂ ∊ End (R²):

Т₁(x, у) = (–у, x), Т₂(х, у) = (х, –у).

Какой геометрический смысл имеют Т₁ и Т₂?

9. Доказать, что

а) если S, Т ∊ End (V), то S ∘ Т ∊ End (V);

б) если при Т ∊ End(V) существует преобразование S: V → V такое, что

S ∘ T = T ∘ S = I_v,

то S ∊ End(V);

в) если Т ∊ Aut (V), то N(T) = {0}.

10. Доказать, что если r₁, r₂, r₃ ∊ R² и λ ∊ R, то

a) r₁ • (r₂ + r₃) = r₁ • r₂ + r₁ • r₃;

б) λ (r₁ • r₂) = (λr₁) • r₂ = r₁ • (λr₂);

в) |r₁ – r₂| ||r₁|| ||r₂||;

г) ||r₁ – r₂||² = ||r₁||² + ||r₂||² – 2||r₁|| ||r₂||cos θ,

где θ — угол между r₁ и r₂;

д) |||r₁|| – ||r₂||| ≤ ||r₁ + r₂|| ≤ ||r₁|| + ||r₂||

(последнее неравенство известно как неравенство тре­угольника). Дать геометрические иллюстрации этим ре­зультатам.

В действительности вышесказанное имеет место для любого пространства со скалярным произведением; в ча­стности, результаты справедливы для Rⁿ (n ∊ N) с обыч­ным внутренним (скалярным) произведением.

11. Вычислить единичные векторы, параллельные

а) а = (1, 1, 1);

б) b = (1, р, 0), p ∊ R.

Определить единичный вектор, ортогональный а и b од­новременно.

12. Пусть а, b, с ∊ R³ и λ ∊ R. Доказать, что

а) а b = –b а;

б) а (b + с) = а b +а с;

в) (λ a) b = a (λ b) = λ (a b);

г) = = = ;

д) а (b с) = (а с) • b — (а b) • c;

е) а • (b с) = b • (с а) = с • (а b)= –а • (с b) =

= –b • (а с)= –с • (b а).

13. Используя результаты 5.4, 12, доказать, что опе­рация : R³ R³ → R³ не ассоциативна, т. е. в общем случае a (b с) (а b) с.

14. Пусть f, g: R → R³. Доказать, что

а)

б)

в) если ||f (t)|| = a для всех t, где а ∊ R — постоянная, то df/dt ортогонален к f при всех t. Провести вычисле­ния при

f(t)= (с cost, a sin t, 0), g(t) = (0, 1, t).