§ 5. Произведения множеств

Пока мы в основном занимались построением из су­ществующих множеств множеств меньшего размера. Сей­час будет рассмотрен один из наиболее общих способов конструирования больших множеств. Рассмотрим для ил­люстрации множество размеченных клеток шахматной доски (рис. 1.10). Рассмотрим множество столбцов, которые обозначим буквами a, b, …, h (слева направо), и множество строк от 1 до 8 (снизу вверх).

Следовательно, каждая клетка может быть однозначно задана двумя символами: один – из множества другой – из множества например и т.д. Таким образом, из множества столбцов и множества строк мы образовали множество всех клеток доски.

Этот пример содержит в себе новые идеи, которые ис­пользуются при построении произведений множеств. Од­нако для того, чтобы быть в состоянии обобщить рассматри­ваемую ситуацию, следует быть немного более точными.

О п р е д е л е н и е. Обозначим последовательность из n элементов через Здесь круглые скобки используются для того, чтобы указать на порядок, в котором записаны элементы. Например, если , то последовательность не совпадает с исходной. Будем называть такую последовательность набором длины n; набор длины 2 будем называть парой.

Пусть даны n множеств множество всех наборов таких, что , называют прямым произведением и обозначают Используя другие обозначения, это произведение запишем более кратко:

//

П р и м е р 5.1.

Пусть Тогда

Таким образом При рассмотрении примера с шахматной доской становится ясно, что будет, если написать выражение . Множества и не пересекаются и . Например,

и и – различные элементы . Следовательно, с математической точки зрения нам следует отвергнуть запись как неверную для шахматной доски. //

Мы часто будем использовать прямое произведение для одинаковых множеств. В этом случае будет удобнее записывать как

У п р а ж н е н и е 1.5.

1. Пусть и Найти и .

2. Доказать: при и , .

3. Доказать, что

4. Доказать, что для любых непустых конечных множеств и выполняются соотношения:

а) ; б) ; в) ;

г) ;

д) тогда и только тогда, когда

Глава 2. Отношения

Часто в вычислениях необходимо выбирать элементы множеств, которые удовлетворяют некоторому «отноше­нию». Это понятие довольно общее. Поэтому оно широ­ко применимо. Естественно, что при соответствующем вы­боре отношения его аргументы могут быть связаны доста­точно просто. Они не обязательно должны быть связаны какой-либо простой или очевидной формулой, хотя в си­туациях, когда требуется осуществить некоторые вы­числения, иногда можно найти удачное описание отно­шения.

Перед тем как подойти к этому вопросу с математи­ческой позиции, рассмотрим несколько идей, возникаю­щих из рассмотрения следующей простой ситуации (кото­рая также приводит к возникновению понятий отноше­ния). Предположим, что для некоторой конечной машины мы имеем множество программ Р, конечное множест­во значений данных D и множество результатов R. Если мы выберем конкретное значение из D, то оно может ис­пользоваться в некоторых программах из Р, и для каж­дой программы из Р существует совокупность значений из D, которые в ней используются. Таким образом, мы имеем соответствие между значениями данных и програм­мами, и, следовательно, существуют элементы в , представляющие интерес. Аналогично, если мы сведем рассмотрение к р Р, то р связывает соответствующие значения данных из D с результатами из R. Можно рас­смотреть данные, приводящие р к остановке, или резуль­таты, которые не могут быть получены из р. Следова­тельно, мы приходим к подмножеству D x R. (При пере­работке данных от D к R возникают некоторые ассоциа­ции, которые могут оказаться полезными для запомина­ния терминологии.)

Перейдем теперь к формальным рассмотрениям.