§ 3. Кривые и поверхности

3.1. Математическое представление. Кривые и по­верхности образуют основу большинства вспомогатель­ных устройств компьютера и графического математиче­ского обеспечения. Возможны различные математические описания одной и той же геометрической формы; неко­торые из них обсуждались и доступны с точки зрения приложений.

Если I ⊂ R — интервал, то через ϰ ⁿ обозначим мно­жество всех отображений класса C¹:

c : I →R ⁿ,

причем c' ≠ 0 на I. На ϰ ⁿ определим отношение ~ сле­дующим образом. Пусть

c₁ : I₁→R ⁿ, c₂ : I₂→R⁴;

тогда c₁ ~ c₂ , если существует отображение φ : I₁→I₂ из класса С¹ такое, что c₁ = c₂ ◦ φ и φ' ≠ 0 на I₁.

Предложение. Отношение ~ является отноше­нием эквивалентности на ϰ ⁿ. //

Доказательство оставляем в качестве упражнения. Пусть ϐ ⁿ обозначает классы эквивалентности ϰ ⁿ / ~. Определение. Кривой в R ⁿ называется элемент ϐ ⁿ . //

Если c∈ ϰ ⁿ и c : I →R ⁿ, то I называют параметриче­ским пространством c, а t — параметром или координа­той c. График c (graph c) определяют как множество то­чек

{c(t) : t ∈ I}.

Если c ∈ x ⁿ и c : I→R ⁿ обозначает класс эквивалентности c в ϐ ⁿ то для всех имеем

graph с₁ = graph с,

так что разумнее говорить о графике кривой [c]. Обрат­ное неверно; мы можем иметь соотношение graph [c₁] = graph [c₂], но при этом [c₁] ≠ [c₂]. Отношение эквива­лентности ~ группирует вместе элементы ϰ ⁿ , которые параметризуются «аналогичным» образом.

Для вычислительных целей выберем элемент c ∈ [c] и назовем кривую также с, хотя с точки зрения терми­нологии это неправильно. Это возможно при условии, что мы понимаем разницу и проявляем осторожность, когда это необходимо. График кривой в ϐ ² является множест­вом точек, которые мы видим отображенными на графи­ческом терминале. Тогда ϐ ³ — множество плоских кри­вых, а элементы — множество пространственных кри­вых. ϐ ³ и ϐ ³ важны для приложений, однако, где легко провести рассуждения в более общем случае, будем это делать.

В литературе по компьютерной графике употребляют термины «параметрический», «явный», «неявный» по от­ношению к различным методам определения кривых. Ес­ли (ξ₁ ,…, ξ_n ) — система координат в R ⁿ и элемент c ∈ ϰ ⁿ определен при помощи n функций t→ ξ_i (t) ( 1 ⩽ i ⩽ n ), то такое задание кривой называют явным параметрическим описанием. Иногда выделяют два ти­па— «симметричный» и «несимметричный». Описание не­симметрично, если параметр является одной из коорди­нат, т. е. t = ξ₁ для некоторого i, 1 ⩽ i ⩽ n . Следователь­но, несимметричные описания имеют вид

( ξ_i, ( ξ₁ (ξ_i), ξ₂ ( ξ_i ),…, ξ_i ,…, ξ_n( ξ_i ))), ξ_i ∈ I ;

в случае ϐ ² и декартовых координат эта запись имеет знакомый вид

(x, (x, у(x))),x ∈ [ х₀ , x_i ] и кривую определяют, задавая явно у как функцию от х. С другой стороны, мы можем описать кривую в R ⁿ, определяя подходящую функцию f : R ⁿ → R. Для фикси­рованного a ∈ R функция f определяет кривую с гра­фиком

f^-1(a)={( ξ₁, …, ξ_n ) : f ( ξ₁ , …, ξ_n )= а};

f ( ξ₁ , …, ξ_n ) называют уравнением кривой (строго гово­ря, следовало бы назвать графиком кривой). В принципе уравнению такого типа можно придать явную форму, хотя в общем случае это сделать достаточно сложно. Го­ворят, что кривые, определяемые такими уравнениями, описаны неявно.

Заметим, что не все отображения f : Rⁿ →R будут за­давать кривые описанным выше способом. Например, по­стоянное отображение задает все Rⁿ. Далее функция f : Rⁿ →R может для одних значений постоянной а зада­вать кривую, а для других — нет, как мы это увидим ниже.

Плоская кривая, заданная неявно уравнением вида

,

называется квадратичной кривой (кривой второго по­рядка) .

Пусть c₁ : [a , b]→R ⁿ и c₂ : [c , d] →R ⁿ , где а<b= c < d и c₁(b) = c₂ (b). Тогда c₁ ˅ с₂ определяют следую­щим образом :

и называют объединением функций с₁ и с₂ . Для симмет­ричных описаний, если c ≠ b, с₂ может быть параметризовано таким образом, чтобы это условие выполнялось. Это означает, что мы можем построить такое, что интервал для начинается с b. Следовательно, при условии c₁ ( b ) = c₂ ( b ) объединение c₁ ˅ с₂ имеет смысл, но может не быть, строго говоря, кривой. Проблема со­стоит в том, что c₁ ˅ с₂ может не принадлежать С¹.

Пример 3.1. Прямолинейная кривая (прямая) может быть опреде­лена в R² обычным обра­зом как

𝑦𝑥=𝑚𝑥+𝑐,

где m — наклон прямой, а с — точка пересечения с осью O y (рис. 10.22). В на­ших обозначениях это будет

Рис. 10.22

mиc могут быть заданы непосредственно, однако более естественно использовать концы r₀ = (х₀, y₀) и r₁ = (x₁,y₁) откуда

m = (y₁ — y₀)/(xi — x₀), с = y₁ — тх₁ .

Проблема, возникающая в несимметричных описаниях, теперь очевидна. Эта форма не описывает вертикальную линию (когда x₀ = x₁ ). Если вместо этого воспользовать­ся неявной формой

( y – y₀ )( x₁ – x₀ ) – ( y₁ – y₀ ) ( x – x₀ ) = 0 , x₀ ⩽ x ⩽ x₁

то при x₁ = x₀ получим уравнение вертикальной линии x = x₀. Неявное уравнение прямой линии в общем слу­чае имеет вид

ах + by + с = 0,

и вертикальные линии описываются этим уравнением при b = 0.

Обычное симметричное описание может быть записа­но в векторной форме:

где — единичный вектор, . ∥

Рассмотренные выше примеры приводят к общим на­блюдениям о природе кривых, определенных несиммет­ричным способом. Перед тем как обсуждать это, дадим несколько необходимых определений.

Определение. Говорят, что плоская кривая (и, (x (и), у(и))), u ∈ [u _A, u _B] является:

• однозначной, если для всех u₁, u₂ ∈ I имеем

x (u₁)=x (u₂) ⇒ y (u₁) = y(u₂);

• многозначной, если предыдущее условие не вы­полнено;

• замкнутой, если . // На рис. 10.23 проиллюстрированы все три случая.

Очевидно, что замкнутая кривая является многозначной. Несимметричное описание (x, (x , у(x))), может определять только однозначную кривую. Это по­тому, что у является функцией от x и, следовательно,

x₁ = х₂ ⇒ y(xi) = у(х₂).

Вертикальная линия является многозначной кривой. Многие приложения в компьютерной графике требу­ют, чтобы замкнутые и многозначные кривые были вклю­чены в описания. Единственный путь достижения этого — объединять кривые, как это описывалось ранее. При ис­пользовании несимметричных форм это не очень удобно

Рис. 10.23

и редко применяется на практике. Симметричные описа­ния не имеют этого ограничения и, следовательно, явля­ются более удобными для таких приложений. Несиммет­ричные формы обычно исполь­зуют, когда требуется одно­значная кривая.

Пример 3.2. Окружность является примером замкнутой кривой. Рассмотрим окружность в R² радиуса а с центром в на­чале координат (рис. 10.24).

Чтобы записать окружность в несимметричной форме, необ­ходимы две кривые: y₁(x)=(a²-x²)^1/2 –a ⩽x⩽ a в квадрантах 1 и 2 и y₂(x) в квадрантах 3 и 4. Уравне­ние окружности в неявной форме имеет вид

х² + у² — а² = 0

или же в векторных обозначениях, ∥r∥-a=0.

Рис. 10.24

Это уравнение описывает всю окружность; оно может быть записано в симметричной параметрической форме

t .

Возможно бесконечное число других симметричных форм, выбор которых зависит от приложений. Для выполнения рисунков более предпочтительной является параметриза­ция с относительно постоянным изменением r(t). Мате­матически это означает, что величина ∥r′(t)∥ приблизи­тельно постоянна на I. Несимметричное представление в большинстве случаев является неудобным, так как тре­буется проверка, на какой ветви кривой мы сейчас на­ходимся. //

Примерами кривых второго порядка являются эллипс, гипербола и парабола.

Если G — группа преобразований R ⁿ , тогда G преоб­разует ϐⁿ естественным образом. Если c кривая

c = (t,r(t)), t I,

и g G, то определим кривую gc следующим образом:

gc = (t,gr(t)), t .

Н апример, когда G = SO(2) и c , то график W(θ) c является графиком с, повернутым на угол в (рис. 10.25).

Рис. 10.25

Уравнения обычно описывают кривые в «стандартном» положении, когда ось ОХ является осью симметрии. Чтобы получить уравнение геометрически эквивалентной кривой в некотором другом положении и ориентации в пространстве, надо просто применить подходящий элемент группы E(2) к уравнению.

В качестве примера выведем уравнение эллипса с графиком e, изображенным на рис. 10.26. В стандартном положении (изображенном штриховой кривой на рисунке).

Рис. 10.26

следовательно, кривая с графиком е имеет вид

Неявные уравнения для кривых в нестандартном поло­жении могут быть получены аналогично.

Перед тем как перейти к дру­гой теме, упомянем один интерес­ный факт, проверка которого осу­ществляется довольно легко, ког­да кривые заданы неявными урав­нениями. Пусть f(x , y) = 0 — урав­нение плоской кривой, которая делит плоскость R² на три части, тогда, если (x', у') — произвольная точка пространства., то знак f (x', у') определяет область, в которой лежит (x', у'). Например, возьмем уравнение окружности

f(x, у) = х² + у² — а² = 0;

тогда

f(x', у')>0⇒( x', у') лежит за пределами круга,

f(x', у')=0⇒( x', у') лежит на окружности,

f(x', у')<0⇒( x', у') лежит внутри круга.

Проверки такого типа используют в трехмерных слу­чаях в алгоритмах удаления невидимых линий с изобра­жений. Исследование поверхностей может быть проведе­но по аналогии с исследованием кривых. Методы пред­ставления имеют те же самые преимущества и недо­статки.

Поверхности двумерны и имеют пространство пара­метров вида , где I₁ , I₂ ⊆ R — интервалы. Парамет­рическое представление в общем случае имеет вид

Неявное уравнение поверхности записывается в виде f (x,y,z) = 0, а поверхностью второго порядка является поверхность, определяемая уравнением

,

где a, b, c, d, e, f, g, h, i, j∈ R

Пример 3.3. Пусть — множество линейно независимых векторов. Тогда

Есть симметричное описание плоскости P, проходящей через точки D (рис.10.27).

Рис. 10.27 Рис. 10.28

тогда — единичный вектор, ортогональный P (называемый нормалью). Таким образом, r∈P тогда и только тогда, когда (r – r₀) ∙ = 0, или

(x — x₀)n₁ + (у — y₀) n₂+(z — z₀)п₃ = 0.

Это является неявным представлением Р. //

Пример 3.4. Пусть S — сфера в R³ радиуса а с центром в начале координат. Очевидно, что r∈S тогда и только тогда, когда ∥r∥ = а, или же

x² + y² + z² — a² = 0.

Сферические координаты дают симметричное представ­ление

//

Пример 3.5. Пусть С —цилиндр радиуса а с осью симметрии OZ. В этом случае ( x, y, z) ∈ C тогда и толь­ко тогда, когда

х² + у² — а² = 0.

Используя цилиндрические координаты, получаем сим­метричную форму

.

Обычно рассматривают «конечный» цилиндр (рис. 10.28). Для него уравнение будет иметь вид

//

Относительно уравнений поверхностей, находящихся в нестандартном положении, можно сделать те же заме­чания, что и для случая кривых; надо лишь Е(2) заме­нить на Е(3).

3.2. Геометрия плоских кривых. Целью данного раз­дела является определение понятий длины, касательной и кривизны плоских кривых. На рис. 10.29 изображена плоская кривая

.

Р — произвольная точка на c, являющаяся концом век­тора r(t), а Р' — конец вектора r( t +δt), δt ∈ R\{0}..

Пусть δr (t) обозначает вектор '. Тогда, очевидно,

есть длина отрезка РР'.

Если разбить интервал [t _A , t _B ] на много маленьких интервалов равной длины

= , то можно образовать сумму

где ,

которая равна длине ломаной линии вдоль c. Интуитивно ясно, что мы получаем аппро­ксимацию кривой S_AB между r ( t _A ) и r ( t _B ). Приближение будет тем лучше, чем больше число разбиений отрезка [ t _A , t _B ] . Эти интуитивные понятия приводят нас к опре­делению длины кривой S_{AB :}

С вычислительной точки зрения эта формула трудна для использования. Поэтому мы перепишем ее в более удобном виде:

где . Но это по определению интеграл

следовательно,

Если , то формула принимает вид

Интуитивно ясно, что линия наклона (на рис. 10.29 это QQ′) к кривой c является прямой, касающейся этой кривой и имеющей тот же самый наклон, что и c, в точ­ке P. Пусть θ — это угол между отрезком РР' и каса­тельной QQ'. Тогда при δ t→0 следует ожидать, что θ→0. Это означает, что направление δr(t) или же δr ( t ) /δt стремится к направлению QQ' при δt→0. Дру­гими словами, вектор

параллелен QQ′ . Если

тогда в принципе все кривые могут быть выражены в терминах параметра длины дуги (s, r(s)), s е [0, S_AB]. Из определения длины дуги получаем

дифференцируя обе части по s, имеем

Другими словами, d r / d s — единичный вектор, параллель­ный касательной линии к r(s). Это вызывает следующее определение.

Определение. Пусть (s, r(s)), s ∈ [0, S_AB],— кри­вая с длиной дуги в качестве параметра. Определим единичный вектор касательной Т (s) к кривой в точке s как

,

а нормальный вектор (s) к кривой как

.//

Базис ( ) образует правостороннюю систему коор­динат в R². Если кривая не параметризуется в терминах длины дуги, то выражение для (см. упражнение 10.2) будет иметь вид

Эти формулы неявно предполагают условия на s. В действительности знак не образует класса эквива­лентности, инвариантного на ϐ², а является функцией выбранного параметрического представления. Даже если параметризация осуществлена с помощью параметра — длины дуги, она зависит от того, с какого конца мы начинаем измерять s. Касательное пространство к точке кривой является классом, инвариантным на ϐ², где

касательное пространство к [с] в точке P имеет вид {a : a ∈ R, где — касательный вектор в P для неко­торого с∈[с]}.

Из упражнений к § 4 гл. 5 следует, что ортого­нален к ; следовательно, существует функция ϰ:

[o, S_AB] →R такая, что называют кривизной кривой r(s),

а 1/ϰ(s) – радиусом кривизны r(s).

Упражнение 10.2.

1. Получить в R² явное уравнение прямой, проходя­щей через точки (—1, 3) и (2, —1). Определить еди­ничный вектор, параллельный этой прямой, и написать уравнение в параметрической векторной форме. ___

2. Определить касательный и нормальный векторы и и кривизну ϰ следующих плоских кривых:

а) окружности — , 0⩽θ<2π;

б) эллипса — , 0⩽φ⩽2π;

в) параболы — , —∞<t<∞₎ где

a > 0 и b > 0 действительные.

3. Плоская кривая определена формулой

где a > 0 и b > 0 действительные.

а) Показать, что касательный вектор к кривой задается формулой

б) Начертить кривую в интервале 0 ⩽u⩽2π.

в) Найти нормаль к кривой.

4. Начертить кривую , —∞<u<∞, и найти выражение для касательного век­тора .

5. Пусть (x, (x, y(x))), ⩽x⩽ , описывает пло­скую кривую. Показать, что касательный вектор (x) может быть записан как

и, следовательно, кривизна ϰ(х) в точке x имеет вид

6. Получить формулы, аналогичные полученным в п. 5, для симметричного представления

( u , ( x ( u ), y ( u ))), ⩽u⩽

7. Найти симметричное параметрическое уравнение плоскости P, проходящей через точки (0, 1, 0), (3, —2, 0) и (1, 3, 4) в R³. Показать, что нормальный вектор будет параллелен (—4, —4, 3), и использовать этот факт для вывода неявного уравнения для P.

8. Поверхностью вращения называется поверхность, являющаяся результатом вращения плоской кривой во­круг некоторой фиксированной оси в R³.

а) Показать, что если плоская кривая

, ⩽u⩽

делает поворот па угол 2π вокруг оси OZ, то соответст­вующая поверхность вращения описывается уравнением

где ⩽u⩽ , 0⩽φ<2π.

б) Использовать результаты задачи 8, а) для получе­ния симметричных параметрических представлений сле­дующих поверхностей:

— цилиндра; — конуса; — тора.

9. Цилиндр С₁ длины 2l определяется уравнением x² + z² = b², — l⩽у⩽l, и пересекается с цилиндром C₂ длины h, который определяется уравнением у² + (z — а) ² = a³ , 0⩽x⩽h, где 0 < а < b, h > b.

Используя параметрические координаты

{(x, 0): 0⩽x⩽h , 0⩽θ<2π) на С₂,

показать, что кривая, являющаяся пересечением С₁ и С₂ , может быть записана как (θ, r(θ)), 0⩽θ<2π, где

Показать также, что единичный касательный вектор к кривой в точке θ = 0 задается формулой

12