Глава 10.Компьютерная геометрия

Эта глава дает некоторые сведения из геометрии, ко­торые широко используются в компьютерной графике и компьютерном вспомогательном математическом обеспече­нии; при этом делается попытка изложить все более стро­го и унифицировано, чем это делается во многих книгах по компьютерам. Мы стремимся представить серию «при­емов» в некотором, очевидно, случайном порядке, а так­же использовать концепции, развитые в предыдущих гла­вах (особенно в гл. 1—3, 5, 6), чтобы обеспечить основу для обсуждения выбранных тем, включающих однород­ные координаты, кривые и поверхности. Дано также че­тырехмерное представление данных трехмерной геомет­рии, широко используемое на практике.

Перед началом обсуждения будет полезно, чтобы чи­татель имел некоторое представление о разнице между терминами «топология» и «геометрия»: геометрия изуча­ет расстояния и углы, тогда как топология занимается более общими свойствами. Например, две сферы с различ­ными радиусами являются топологически эквивалентны­ми, а геометрически — нет. Два объекта топологически эквивалентны, если один из них может быть получен из другого искривлением и растяжением последнего без раз­рыва (чтобы быть более точными, путем использования непрерывного отображения, обратное к которому также непрерывно), тогда как в геометрии эквивалентные объ­екты должны быть идентичны во всех отношениях, за ис­ключением их положения и ориентации в пространстве. Теория графов является частью топологии, поскольку вершины не обладают свойством положения в простран­стве и топология графа есть отношение ребер.

Обычно удобно запоминать в памяти компьютера два различных множества данных, относящихся к рассмат­риваемому объекту,— топологические данные и геометри­ческие данные. Например, можно представить широкий

класс объектов при помощи каркасных моделей. На рис. 10.1 дано такое представление конечного цилиндра. Топология модели такого типа может рассматриваться как граф и может быть представлена в виде связной спи­сочной структуры. Геомет­рические данные могут быть просто списком век­торов, определяющих по­ложения вершин в R³. Целью разделения содер­жания геометрии и топо­логии является то, что мы хотим преобразовать пашу модель некоторым обра­зом, например чтобы она была физически меньше, или передвинуть ее в не­которое новое положение, изменив ориентацию в пространстве.

Т акие преобразования не изменяют топологии модели, и нам просто изменить соответствующим образом геометрическое множество данных. В § 1, 2 мы будем

Рис. 10.1

заниматься системами координат, которые дают возможность пред­ставить геометрические данные, и некоторыми полезными в дальнейшем множествами преобразований, которые мо­гут применяться к геометрическим множествам данных.

§ 1. Системы координат для подмножеств r3

В общем случае система координат (координатная система) или параметризация множества S⊆Rⁿ являет­ся идентификацией каждой точки в S при помощи един­ственного упорядоченного набора чисел (ξ₁,...,ξ_q) ∈ R^q (q ∈ N). В терминологии отображений система координат для S может быть определена как непрерывная биекция Ф: S →τ, где τ ⊆ R^q. Любое преобразование или другое вычисление, осуществляемое на S, тогда выполняется в терминах координат (ξ₁,...,ξ_q).

Конкретное отображение, которое выбирается для данной задачи, часто будет опре­деляться геометрией пространства S. Можно показать, что q для фиксированного S является постоянным для всех систем координат и называется размерностью S. К сожалению, в одном из приведенных ниже примеров (однородные системы координат) требуется, чтобы τ бы­ло всем пространством; кроме того, существует много по­лезных подмножеств, для которых такие отображения не существуют (например, круг или сфера). Чтобы разо­браться с этим, следовало бы совершить небольшой экс­курс в топологию; однако вместо этого будем надеяться, что проведенное ниже рассуждение, несмотря на недостат­ки определения, поможет хорошо разобраться в данном вопросе.

В основном нас будут интересовать пространства раз­мерности 3 и меньше; например, кривые являются одно­мерными объектами, а поверхности имеют размерность 2. В следующих примерах представлены некоторые наи­более общие координатные системы в R² и R³, однако там, где легко обсудить более общий случай, мы это бу­дем делать.

Пример 1.1. Прямоугольная система координат в Rⁿ (n∈N). Если B = {e₁, ..., е_n} — базис в Rⁿ, то каж­дый элемент x ∈R ⁿ может быть записан единственным образом в виде

где a_i∈R, 1 ⩽ i ⩽ n.

Отображение Ф: Rⁿ→Rⁿ, задаваемое как Ф(x) = (а₁,...,a_n), определяет координатную систему в R ⁿ. Если В ортонормирован, то соответствующие координаты назы­ваются декартовыми координатами в Rⁿ. В R² и R³ обычно ортонормированный базис интерпретируют геометри­чески как правостороннюю систему координат в смысле § 4 гл. 5. //

Следующий пример в Rⁿ является более сложным с математической точки зрения. Необходимо некоторое предварительное обсуждение перед тем, как мы опишем эту систему.

Начнем с определения отношения ~ на R^n+I. Опреде­лим его следующим образом: x ~ у, если x = ау для не­которого а ∈R\{0}. Важные свойства этого отношения сформулированы в следующем предложении, доказатель­ство которого оставляется в качестве упражнения.

Предложение. Отношение ~ является отноше­нием эквивалентности на R ⁿ⁺¹.

Отношение ~ определяет следующие классы эквива­лентности:

P ⁿ = {L\{0}: L — одномерное векторное подпространство R ⁿ⁺¹, 0— нулевой вектор в R ⁿ⁺¹} и {0}.

Очевидно, что R ⁿ⁺¹ = Р ⁿ ∪ {0}. Определим подмноже­ство Р ⁿ.

Определение. Пусть x ∈ R ⁿ⁺¹ имеет вид (x₁, ... ..., x _n, 0), где не все х₁ равны нулю. Тогда [x] ∈ Рⁿ называют бесконечно удаленной точкой. Обозначим множе­ство всех бесконечно удаленных точек Рⁿ через и определим H ⁿ как P ⁿ\ . //

Следующий результат играет важную роль: он уста­навливает координатное отображение R ⁿ.

Предложение. Существует биекция Q ⁿ: H ⁿ→R ⁿ.

Доказательство. Определим отношение Q ⁿ : H ⁿ→R ⁿ следующим образом:

Q ⁿ([(x₁,…,x _n+1)]) = ( x₁,…,x _n ).

Вначале заметим, что правая часть

всегда определена, так как исключена из области оп­ределения Q ⁿ; следовательно, D(Q ⁿ)=H ⁿ. Необходимо установить три факта:

Q ⁿ — отображение на H ⁿ;

Q ⁿ инъективно;

Q ⁿ сюръективно.

Q ⁿ является отображением, если

(x₁,..., x _n+1)~(y1,…,y _n+1) ⇒

⇒ Q ⁿ([(x₁,…,x _n+1)])=Q ⁿ([(y₁,…у_n+1,)]).

Пусть ( x₁,..., x _n+1 )~( y1,…,y _n+1 ) ; тогда существует а∈ R\{0} такое, что х₁ = ay₁ для всех i , 1 ⩽ i ⩽ n+1.

Тогда по определению Q ⁿ([(x₁,…,x _n+1)])=Q ⁿ ([ay₁,...,ау_n+1)]) =

=

Следовательно, Q ⁿ — отображение на H ⁿ.

Q ⁿ инъективно, если Q ⁿ ([ x ]) = Q ⁿ([ у ])⇒ x ~ у. Запи­сывая выражение для x и у в виде x = (x₁, ..., x _n , x _n+1) и y = (y₁,…, y _n, y _n+1), получаем

Q ⁿ ([ x ]) = Q ⁿ ([ у ]) ⇒

Откуда x₁=(x _n+1 / y _n+1 )y₁ ⇒ x ~ y, а = x _n+1 / y _n+1 . Следова­тельно, Q ⁿ инъективно.

Q ⁿ сюръективно, если для всех x=(x₁,…,x _n) ∈ R ⁿ

существует x*∈ R ⁿ⁺¹ такое, что Q ⁿ ([ x*]) = x. Если опре­делим x*=(x₁, ..., x _n , 1)∈ R ⁿ⁺¹, тогда очевидно, что

Q ⁿ([ x*]) = x, т. е. Q ⁿ сюръективно. //

Пример 1.2. Однородные координаты в R ⁿ (n∈ N). Однородные координаты в R ⁿ определяют как отображе­ние R ⁿ на H ⁿ, имеющее обратное отображение Q ⁿ, так что Ф: R ⁿ → H ⁿ , где Ф = (Q ⁿ)^-1. Другими словами, одно­родными координатами точки ( х₁, ..., x _n ) ∈ R ⁿ являются ( n+1 ) - мерные наборы классов эквивалентности

[(x₁, ..., x _n, 1)] = {( p x₁, ..., p x _n , p ): p ≠ 0 } .

Элемент из [( x₁, ..., x _n, 1)] называют однородным представ­лением для ( x₁,..., x _n ).

Часто бывает удобно представить в компьютере гео­метрические данные в однородной форме (см. § 3). Что­бы из однородных координат получить физические, осуществим отображение

(x₁ ..., х_п+1) → ( x₁, … , x _n ).

Сформулированное выше предложение показывает, что все однородные представления данной физической точки имеют те же самые физические координаты.

Чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим геометрическую интерпретацию однородных координат в R.

Р ис. 10.2

Случай более высоких размерно­стей имеет подобную гео­метрическую интерпрета­цию, однако ее нелегко изобразить на рисунке. Элементы Р¹ являются бесконечными линиями в R², проходящими через на­чало координат, однако начало координат выбро­шено (рис. 10.2). Ясно, что единственной, беско­нечно удаленной точкой будет ось Ох₁ с выбро­шенным началом коорди­нат. Рис. 10.3 проясняет понятие «бесконечно удален­ная точка в Р¹». Точки на линии L _n = [(n , 1)] явля­ются однородным представлением n ≡ R. Из рис. 10.3 видно, что при n → ∞ прямая

L _n стремится к бесконечно удаленной точке L_∞. //

Пример 1.3. Полярные координаты в R². Пусть L⊆ R² — полубесконечная линия L = {(x, 0): x ⩾0} и (x, у) ≡ R²\L. Тогда, если Ф: R²\L → ]0, ∞ [Χ]0, 2π[ опре­делено как Ф( x, у) = (r, θ), где r = (х² + у²)^1/2, а θ= (y/x), то Ф определяет множество полярных координат в R². Обратное к Ф отображение задается соотно­шением Ф^-1(r, θ) = . Геометрическая ин­терпретация r и θ дана на рис. 10.4. Исключение L из области определения Ф часто неправильно комментиру­ется в элементарных учебниках. Линию L удаляют, чтобы получить непрерывность Ф.

П ример 1.4. Цилиндрические координаты в R³. Пусть Р ⊂ R³ — полуплоскость

Р = {(x, 0, z):x ⩾ 0} и (x, у, z) ∈ R³\P.

Тогда отображение Ф: R³\P→]0, ∞[ ]0, 2π[ R, определяемое как Ф(x, у, z) = (ρ, φ, z), где ρ=(x²+y²)^1/2, φ = опре­деляет множество цилиндрических координат в R³\P. Обратное к Ф отображение задается формулой Ф^-1( ρ, φ, z ) = (ρсоs φ, ρsinφ, z). На рис. 10.5 изображены величи­ны ρ, φ, z, относящиеся к осям декартовой системы ко­ординат. Полуплоскость Р исключена из области опреде­ления Ф, чтобы получить непрерывность. //

Пример 1.5. Сферическая система координат в R³\Р; Р определено, как в примере 1.4. Сферическую си­стему координат определяют как отображение

Ф: R³/P → ]0, ∞ [ [0, π] ]0,2π[,

где Ф(x, у, z) = (r, θ, φ) а r = (х² + у² + z²)^1/2, θ = (z/r), .