Глава 7. Теория графов
§ 1. Вводные понятия
Многие отношения на конечных множествах могут быть изображены в виде рисунков (см. § 3 гл. 2), с которыми можно работать при помощи соответствующих матриц. Перед тем как определить конструкции этих рисунков, необходимо быть уверенным в том, что это не повлечет за собой никаких двусмысленностей. Введем необходимые понятия.
Пусть V – конечное множество и
Положим
и определим на
отношение эквивалентности следующим
образом:
,
если
или
.
Важное
свойство отношения
сформулировано в следующем предложении.
П р е д л о ж е н и е. Отношение является отношением эквивалентности на . //
Доказательство оставляем в качестве упражнения.
Множество
эквивалентных классов, определённое
таким образом, обозначим через
.
Каждый класс эквивалентности содержит
ровно два элемента, так как если
,
то
.
Здесь
– класс эквивалентности, содержащий
.
Сейчас мы в состоянии дать строгое
определение графа.
О п
р е д е л е н и е. Графом
называется пара
,
где
– непустое конечное множество вершин,
а
– подмножество
.//
Другими словами, можно доказать, что граф есть пара , где – непустое конечное множество вершин, а – множество неупорядоченных пар различных вершин.
Множество
называют множеством ребер графа,
обозначает число вершин
,
– число ребер
.
Следующий результат выражает связь между графами и классами отношений на конечных множествах.
П р е д л о ж е н и е.
а) Граф определяет нерефлексивное симметричное отношение на .
б) Нерефлексивное симметричное отношение на конечном множестве определяет граф.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
а)
Пусть
– граф. Определим отношение
на
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
.
Отношение
нерефлексивно, так как
тогда и только тогда, когда
,
но
,
поскольку
.
симметрично для
тогда и только тогда, когда
,
однако
.
Следовательно,
тогда и только тогда, когда
.
б)
Если
– нерефлексивное симметричное отношение
на
,
то
.
Нерефлексивность
означает, что
для любого
,
поэтому
.
Симметричность
означает,
что
тогда и только тогда, когда
.
Определим
формулой
,
тогда
есть искомый граф.
Графы могут быть представлены матрицами с булевыми элементами. Многие из свойств графов могут быть определены из их матричных представлений путем алгебраических изображений. Это станет понятным из последующего изложения.
О п
р е д е л е н и е. Матрица сложности
графа
,
где
,
определяется следующим образом:
Говорят,
что вершины
и
являются смежными, если
.
Ясно, что
и
.
Таким образом,
симметрична,
и в обозначениях § 1 гл. 6
.
//
Изображение
графа
получается путем расположения различных
точек на
для каждой
,
причем, если
,
мы проводим линию, соединяющую вершины
v и w.
Матрица смежности
Рис.
7.1
П р и м е р 1.1. Пусть
Этот граф изображен на рис. 7.1.
Этот
граф изображен на рис. 7.2.
Матрица смежности
Рис. 7.2.
Графы являются скорее «топологическими», чем «геометрическими» объектами, т.е. они выражают больше отношения между вершинами, чем расположение вершин и ребер в пространство. Таким образом, граф может быть изображен бесконечным количеством разных, но «эквивалентных» способов. Однако изображения графов могут вводить в заблуждение. Например, из пересечения двух ребер на рисунке следует, что точка пересечения является вершиной (см. первую диаграмму на рис. 7.2). Ясно, что нижней (верхней) треугольной части матрицы смежности достаточно, чтобы определить граф.
Ч
итатель
уже знаком с понятиями подструктуры и
изоморфизма или же с эквивалентностью
алгебраических систем. Дадим следующие
определения.
О п
р е д е л е н и е. Говорят, что граф
является подграфом графа
,
если
и
.
Если
,
то говорят, что
является остовным подграфом G. Если
– непустое подмножество вершин графа
,
то подграф
,
порожденный
,
определяются как
и
.
//
О п р е д е л е н и е.
а)
Пусть
и
– графы. Будем говорить, что
и
эквивалентны, если существует
биекция
такая, что
б) Пусть – произвольный граф. Определим отображение
следующим образом: величина
равна числу ребер, содержащих вершину
.
Назовем
степенью
вершины
.
Следующее предложение выражает два простых, но важных факта о свойствах графов.
П р е д л о ж е н и е.
а)
б) В любом графе число вершин нечетной степени четно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждое ребро дважды входит в сумму, откуда и следует утверждение.
в)
Пусть
– множество вершин четной степени, а
– множество вершин нечетной степени.
Заметим, что
и
;
следовательно,
,
(Ясно, что
,
где
– некоторое целое.) Таким образом,
,
т.е. четно, однако каждое
в левой части нечетно, поэтому
четно. //
Во многих приложениях теории графов о топологии графа имеется дополнительная информация, относящаяся к , или к , или к обоим множествам одновременно. Чтобы конкретизировать вышесказанное, определим понятие помеченного графа и дадим несколько примеров.
О п р е д е л е н и е.
1) Пусть
и
– множества меток. Пометкой или
распределением меток графа
называется пара функций
– распределение меток вершин,
– распределение меток ребер.
2)
Пусть граф
помечен с помощью функции
и
,
а
помечен с помощью
и
.
Графы
и
называются эквивалентно помеченными,
если существует биекция
,
такая что
а) и эквивалентны как непомеченные графы;
б)
для всех
,
поэтому соответствующие вершины имеют
одну и ту же пометку;
в)
для всех
,
,
т.е. соответствующие ребра имеют одну
и ту же пометку.
Часто бывают помеченными только ребра или же только вершины. Вышесказанное применимо и в этом случае.
помечены только вершины;
помечены только рёбра. //
Ребра или вершины (или те и другие вместе) помеченного графа несут информацию, которая дополняет обычную идентификацию с помощью имен.
П р и м е р 1.2.
1. Пусть
, 
,
Это граф изображен на рис. 7.3.
2
.
Пусть графы
,
помечены так же, как указано на рис. 7.4; и являются эквивалентно помеченными графами (вершины не помечены). //
У п р а ж н е н и е 7.1.
Рис.
7.3
2. Изобразить графы, представленные следующими матрицами смежности:
;
б
3
.
Определить матрицы смежности графов,
представленных на рис. 7.5.
Рис.
7.4
4.
Начертить подграф, порожденный вершинами
графа на рис. 7.5,а.
Рис.
7.5
Пусть – граф и . Какое может быть максимально возможное значение ?
Сколько существует различных графов, имеющих вершин? Остальные задачи этого параграфа требуют введения некоторых дополнительных понятий.
О п р е д е л е н и е.
Граф называется полным, если для всех
имеем
.
Полный граф с вершинами обознается
через
.Граф называется двудольным, если существует разбиение
такое, что никакие две вершины из
или
из
не являются смежными. Двудольный граф
называется полным, если любой пары
и
имеем
то полный двудольный граф
обозначается через
.
//
Изобразить граф
Построить пример двудольного графа.
а) Изобразить граф
.
б) Сколько ребер имеет граф ?