§ 1. Матрицы и бинарные отношения на конечных множествах

Формально матрицей над множеством S называется отображение

М: N_p N_q S, p, q N.

Обычно образ (i, j) обозначают через M_ij и изображают всю функцию массивом элементов из S, т. е.

Говорят, что эта матрица имеет p строк и q столбцов и имеет размер p q. Матрица размера p q имеет p * q элементов. Когда p = q, матрицу называют квадратной. Множество всех матриц p q над S обозначают через (p, q, S). Множество (p, p, S) будем обозначать че­рез (p, S).

Рассмотрим бинарное отношение р между множества­ми A и B, где

A = {a₁, a₂, …, a_p}, B = {b₁, b₂, …, b_q}, т.е. |A| = p, |B| = q.

Упорядочение элементов в этих множествах выбрано произвольно, однако, однажды выбранное, оно далее оста­ется фиксированным. Пусть это отношение р определено посредством выбора пар (а, b), где a A, b B.

Рассмотрим матрицу М над {0, 1}, т. е. М: N_p N_q {0, 1}, и свяжем элементы М с отношением р биекцией

( отображает произвольное отношение между A и B в матрицу p q над {0, 1});

причем

В случае, когда полезно подчеркнуть, что матрица М бы­ла получена из отношения р, мы будем обозначать ее че­рез M(р).

Пример 1.1. Возьмем случай |A| = 4, |B| = 3 и p = {(a₁, b₂), (a₁, b₃), (a₂, b₁), (a₃, b₁), (a₄, b₂)}.

Тогда соответствующая матрица М имеет вид

. //

Таким образом, мы имеем способ табулирования или кодирования отношения и можем закодировать отношение посредством ф или декодировать посредством ^-1. Этот процесс является отображением (i, j) в A B или М со­ответственно. Такое представление более удобно, чем тео­ретико-множественный способ определения отношений, поскольку с ним можно обращаться формальным образом. Оно становится даже более пригодным для вычислений, если наложить некоторую структуру на множество, из которого получается матрица. Возьмем опять {0, 1} и определим на этом множестве логическое сложение (или) и умножение (и). Тогда, если М и N — матрицы p q, соответствующие отношениям p и , то матрица Q, пред­ставляющая отношение , где

= {(a, b): (a, b) p или (a, b) },

определяется следующим образом Q_ij = (M_ij или N_ij) = M_ij + N_ij (логическое сложение). Следовательно, имеет смысл называть Q суммой матриц М и N и писать

Q = М + N,

подразумевая, что Q, М и N имеют один и тот же размер и Q вычисляется по правилу покомпонентного сложения

Q_ij = M_ij + N_ij

(p, ) p

(M, N) M + N

+

Это — пример использования коммутативной диаграммы, изображенной на рис. 6.1, где производится операция на одном множестве с использо­ванием операции на другом множестве посредством под­ходящего отображения ср. С этой диаграммой обычно связывается тождество

С помощью этого тождества можно дать более точное определение сложения матриц:

Пример 1.1 (продолжение). Пусть A и B те же, что и раньше, и пусть

= {(a₁, b₁), (a₁, b₂), (a₂, b₁), (a₃, b₂)}.

Тогда

N = .

Дальше будет видно, что

= {(a₁, b₁), (a₁, b₂), (a₁, b₃), (a₂, b₁), (a₃, b₁), (a₃, b₂), (a₄, b₂)}

и, что эквивалентно,

. //

Более того, если мы возьмем множество C = {c₁, c₂, c₃, с₄, с₅} и рассмотрим отображение между B и C, опре­деленное следующим образом:

= {(b₁, c₁), (b₁, c₅), (b₂, c₂), (b₃, c₄), (b₃, c₅)},

то оно может быть представлено в виде матрицы P, где

.

Очевидно, что отношение между A и C корректно определено и, следовательно, будет соответствовать мат­рице 4 5. Обозначим эту матрицу через S. Как ее можно вычислить? Для этого надо вычислить S_ij для всех i, j, где 1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j ≤ 5. В силу биекции S_ij = 1 тогда и только тогда, когда (a_i, c_j) . Однако это так, если только существует некоторое b B такое, что (a_i, b) и (b, c_j) , т. е.

(a_i, c_j) ≡ (a_i, b₁) и (b₁, c_j)

или (a_i, b₂) и (b₂, c_j) ,

или (a_i, b₃) и (b₃, c_j) ;

или же, что эквивалентно,

Матрица S, вычисленная по такому правилу, называется произведением М и P и обозначается через M P или просто MP.

Рассмотрим опять естественное (коммутативное) отно­шение между двумя рассматриваемыми операторами (рис. 6.2). Тогда

Замечание. Изменение порядка зависят от спо­соба определения матрицы отношения; если (вместо этого) мы определим матрицу отношения следующим образом:

( , )

(M, P) M P

М_ij = 1 тогда и только тогда, когда (a_j, b_i) р,

то изменения порядка не будет. Хотя с математической точки зрения было бы более желательно иметь один и тот же порядок, это нарушило бы сложив­шуюся практику. Соответ­ствующие диаграммы в § 3 не меняют порядок, однако эти соглашения естественны для вопросов, изу­чаемых в этом параграфе.

. //

Если матрицы М и N имеют одинаковый размер, то их сумма существует и определяется формулой

(M + N)_ij = M_ij + N_ij,

а если матрицы P и M согласованы (M имеет размерность p q, а P — размерность q r), то умножение матрицы М на P возможно и определяется следующим образом:

Хотя матрицы рассматриваются над (Z₂, /\, \/), мы используем символы и + для того, чтобы иметь возмож­ность обобщения введенных выше операций (см. § 2). С этого момента обозначения /\ и \/ будут использовать­ся лишь в тех случаях, когда общие операции им неадек­ватны.

В заключительной части этого параграфа ограничимся рассмотрением матриц, представляемых отношениями на конечном множестве A, где |A|=п. Тогда все матрицы согласованы и их сумма и произведение всегда опре­делены.

Из покомпонентного определения сложения сразу сле­дует, что сложение матриц коммутативно и существует нулевая (n n)-матрица 0: 0_ij = 0 для всех i, j; 1 ≤ t, j ≤ п. С другой стороны, умножение матриц, вообще го­воря, некоммутативно, однако существует единица, кото­рая называется единичной (n n)-матрицей и определя­ется следующим образом: I = I_ij = 1, если i = j, и I_ij = 0, еслп i ≠ j. Так, если X — матрица n n и Y=XI, то

Так как все I_pj = 0, за исключением случая р = j, то в сумме все члены, исключая те, где р = j, равны нулю. Кроме того, I_jj = 1. Поэтому

Y_ij = X_ij, т. е. Y = X.

Следовательно, X = XI. Аналогично IX = X; поэтому

IX = X = XI. //

К сожалению, обратная по умножению матрица может не существовать; однако если она существует, то она единственна. Если матрица имеет обратную, то она на­зывается обратимой.

Пример 1.2. Не существует матрицы X такой, что

Доказательство. Вычисление произведения дает

Следовательно, какие бы значения компонент матрицы X не рассматривались, элемент (1, 1) произведения никогда не будет равен 1, откуда и следует требуемый результат. //

Таким образом, множество квадратных матриц задан­ного размера с определенными на нем операциями умно­жения н сложения образует кольцо.

Используя далее связь между бинарными отношения­ми на множестве н матрицами над (Z₂, /\, \/), дадим следующие определения.

Транспонированной матрицей M называется матрица M^T такая, что

(поэтому, если М получена из отношения , то M^T может быть получена из отношения ^-1); транзитивное замыкание M⁺ и рефлексивное замыкание М* (изоморфны со­ответственно ⁺ u *) определяются следующим образом:

где = M⁰=I, M¹=M и Mⁿ⁺¹=MMⁿ (n N). (В некоторых случаях эти замыкания нельзя определить корректно (чтобы соответствующие ряды сходились), однако над (Z₂, /\, \/) определение корректно, поскольку это — замкнутое полукольцо.)

В заключение заметим, что матрицы могут быть ча­стично упорядочены путем поэлементного сравнения, а именно

М ≤ N тогда и только тогда, когда M_ij + N_ij для всех i, j. Из данного определения следует, что

М ≤ N тогда и только тогда, когда М+ N = N, при условии что + является операцией «максимум», по­добной или.

Упражнение 6.1.

1. Пусть А— конечное множество и |A|=n, а М — матрица над (Z₂, /\, \/), соответствующая некоторому бинарному отношению на А. Доказать, что

(Следствием этого является тот факт, что вместо полу­кольца (Z₂, /\, \/) мы можем рассматривать булеву ал­гебру (B, /\, \/, ), где В = {0, 1}. Поэтому мы часто будем обозначать множество матриц п п через (п, В) и называть их булевыми матрицами.)

2. Доказать, что если М — конечная квадратная мат­рица над (Z₂, /\, \/), то

M* = (I +M)⁺,

Указание: см. задачу 1.

3. Показать, что если матрица M над (Z₂, /\, \/) такая, что I ≤ M, то Mⁿ ≤ Mⁿ⁺¹ для любого n N. В ка­честве следствия доказать, что если М имеет размер п п и р ≥ т, то

М* = (I + М)^p, М* = M^2q

для некоторого q такого, что 2^q ≥ т.

4. Показать, что если существует обратная к M мат­рица М^-1 (т. е. М^-1M = ММ^-1 = I), то она единственна. Доказать также, что если N обратима и согласовала с М, то

(NM)^-1 = M^-1N^-1.

5. Доказать, что если A, В и С — согласованные мат­рицы такие, что

А В = 0 = A C,

то отсюда не следует равенство B = С. //