§ 1. Алгебраические структуры и подструктуры

Определение. Алгебраической структурой назы­вается множество вместе с операциями (замкнутыми), определенными на этом множестве. //

Обычно операции имеют некоторые характерные свой­ства, которые могут быть обоснованы в виде теорем п которые используются в вычислениях. (Структуру вме­сте со всеми теоремами, правилами вычислений и вывода иногда называют алгебраической системой.)

К каждой структуре применимо понятие подструкту­ры. Чтобы это продемонстрировать, рассмотрим гипотети­ческую структуру, называемую указателем. Пусть А — указатель. Предположим, что имеется только одна опе­рация определенная на А. Следовательно, более точ­но это может быть записано как (Л, ), т. е. указатель состоит из множества А с операцией Теперь, если В А и (В, ) также является указателем, в частно­сти может быть замкнута на 5, то (В, ) называ­ется подуказателем.

Возьмем другую структуру, состоящую из множества С и операции . ( и должны иметь один и тот же порядок. Например, если одна из них является бинар­ной, то и другая должна быть такой же. Можно ввести и другие операции на С, однако в настоящее время мы их не рассматриваем). Если существует отображение φ: А → С такое, что

φ(х у)= φ(х) φ(у)

для любых х и у из А, то φ называют гомоморфизмом.

Если существует гомоморфизм между Л и С, то в не­котором смысле образ (φ(А), ) гомоморфизма из (А, ) ведет себя подобно прообразу, так как мы можем выполнить операцию на А, а затем отобразить в С (посредством φ) или сначала отобразить в С, а затем выполнить операцию . В обоих случаях результат бу­дет один и тот же. Поэтому мы можем делать так, как нам удобнее. Эту ситуацию можно пояснить с помощью коммутативных диаграмм, изображенных на рис. 5.1. Диаграмма на рис. 5.1, а указывает включаемые множе­ства или структуры, а диаграмма на рис. 5.1, b связывает отдельные элементы. На рис. 5.1, b справа изображены две различные формы одного и того же результата. Ком­мутативность диаграммы вытекает из определения опе­раций,

Н а самом деле мы получаем φ • = • φ, что не яв­ляется в строгом смысле коммутативностью, так как и существенно различны. Однако обе части равенства

Рис. 5.1

означают комбинации операций одного и того же поряд­ка и, следовательно, подходят под общее определение

отображение • операция = операция • отображение. Рассмотрим пример.

Пример 1.1. Пусть отображение θ, θ: Z → Z₁₀ — ос­таток от деления на 10. Тогда

θ (20) = 0,

θ (17) = 7, ...

Если мы рассмотрим простейшие системы (Z, +) и (Z₁₀, + ) с операцией +, определенной естественным образом на Z и на «единичном столбце» для Z₁₀, то легко видеть, что 0 является гомоморфизмом. Например,

θ (24 + 38) - θ (62) = 2,

θ (24) + θ (38) = 4 + 8 = 2 (в Z₁₀).

В этом случае диаграмма будет выглядеть так, как это

изображено на рис. 5.2. И

Рис. 5.2

Таким образом, гомоморфизм одной структуры в дру­гую является отображением, которое сохраняет структуру.

Можно вводить ограничения на ранг отображения, чтобы получить, например, сюръективность пли инъективность, Поэтому, если отображение является гомоморфизмом, можно надеяться, что это обеспечит механизм перехода от структуры к структуре (и обратно!) без ка­кой-либо потерн информации.

Определение. Гомоморфизм, который является инъекцией, называют мономорфизмом, гомоморфизм, ко­торый является сюръекцией, называют эпиморфизмом, а гомоморфизм, который является биекцией, называют изоморфизмом. Если существует изоморфизм между дву­мя структурами, то говорят, что они изоморфны. //

Слово «изоморфно» означает «той же самой формы», и поэтому, кажется, разумно ожидать, что изоморфизм должен быть в состоянии разделить множество всех ал­гебраических структур на классы эквивалентности (см. упражнение 5.1, 2).

Пример 1.2. Структуры ({ , }, , ) и ({0, 1} /\, \/) (см. определенно в § 4 гл. 4) изоморфны.

Доказательство. Пусть φ ( ) = 0 и φ ( )= 1. Ясно, что φ — биекция. Тогда

φ( ) = φ( ) = 0 = 0 /\ 0 = φ( ) /\ φ( ),

φ( ) = φ( ) = 0 = 0 /\ 1 =φ( ) /\ φ( ),

φ( ) = φ( ) = 0 = 1 /\ 0 = φ( ) /\ φ( ),

φ( ) = φ( ) = 1 = 1 /\ 1 = φ( ) /\ φ( ),

φ( ) = φ( ) = 0 = 0 \/ 0 = φ( ) \/ φ( ),

φ( ) = φ( ) = 1 = 0 \/ 1 = φ( ) \/ φ( ),

φ( ) = φ( ) = 1 = 1 \/ 0 = φ( ) \/ φ( ),

φ ( ) = φ ( ) = 1 = 1 \/ 1 = φ ( ) \/ φ ( ).

Таким образом, φ является гомоморфизмом и, следова­тельно, изоморфизмом. //

В заключение отмстим, что структура может быть изо­морфна самой себе (имеется в виду изоморфизм, отлич­ный от тривиального) и может также быть изоморфна одной из своих подструктур (это возможно лишь для бесконечных множеств).

Определение. Если область определения и об­ласть значений отображения совпадают, гомоморфизм назаывают эндоморфизмом, а изоморфизм называют авто­морфизмом. И

Пример 1.3. Для заданного множества А структура (ρ(А), , ) изоморфна (ρ(А), , ) с отображением φ: X → X'.

Доказательство. Очевидно, что φ инъективно и сюръективно. Если В, C ρ(A), то

φ (В С) = (В С)' = В' С' = φ (В) φ (С),

φ (В С) = (В С)' = В' С' = φ (B) φ (С).

Позднее мы увидим, что эти соотношения явно показыва­ют самодвойственность булевой алгебры множеств и φ является автоморфизмом. //

Упражнение 5.1.

1. Показать, что две структуры (Z₆, •), полученные при решении задачи из упражнения 4.1, 2 изоморфны.

2. Пусть (Л, ), (В, ) и (С, ) - указатели, а φ: А → В и θ: В → С — изоморфизмы. Показать, что

θ _° φ: А → С, φ ^-1: В→ А также являются изоморфизмами.