§ 4. Логическая арифметика

С трого говоря, булева арифметика оперирует на множествах и и, следовательно, включает только числа 0 и 1. Для того чтобы подчеркнуть такую структуру, начнём с рассмотрения логической арифметики на «относительно большом» множестве . Она даёт основу многозначной логики. Отсюда легко получить более простой случай . Возьмём множество и операции и , определённые в табл. 4.11.

Упорядочивая обычным образом (порядок индуцируется и R), видим, что

Обе операции коммутативны и ассоциативны, 0 является единицей для , а 4 является единицей для ; дистрибутивна по отношению к , но не наоборот.

П р и м е р 4.1. Возьмём множество с естественным порядком элементов. Введём операции и . Рассмотрим шесть возможных случаев упорядочивания трёх произвольных элементов из :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Использование символа является интуитивным, однако может быть обосновано с помощью следующего определения:

тогда и только тогда, когда

Для проверки условия дистрибутивности нужно показать, что

Это можно сделать проверкой того, что обе части выражения совпадают для каждого из наборов и . Будем одновременно вычислять и сопоставлять соответствующие выражения:

1. 

2. 

4. 

6. 

Следовательно, дистрибутивна по отношению к . //

Можно также показать (это как раз на тот случай, когда мы не получаем ожидаемого результата), что дистрибутивна по отношению к , т.е. что

Проверку этого свойства оставляем в качестве упражнения.

Перед тем как закончить обсуждение общего случая, давайте вернёмся к табл. 4.11, определяющим и . Элементы, имеющие одинаковые значения в таблицах, расположены относительно единичных элементов так, как показано на рис. 4.2. На самом деле каждая из этих

Р ис. 4.2

о пераций является «отражением» другой и связь, которая позволяет одну операцию менять на другую, определяется (в ) парами . В сущности, это принцип двойственности, который будет обсуждаться в гл. 5. Возвращаясь к , имеем

В операцию обычно интерпретируют как или (результат равен 1, если один из операндов равен 1, включая случай, когда оба равны 1). Аналогично читается как и. Число 0 является единичным элементов по отношению к или, число 1 является единичным элементом по отношению к и. Можно распространить эти результаты на более высокие размерности (переходя от к ), расширяя компоненты и учитывая, что не существует переноса из одной копии к другой.

П р и м е р 4.2.

У п р а ж н е н и е 4.4. Определяя операции и как минимум и максимум, показать для произвольного , что

Глава 5. Алгебраические структуры

В предыдущей главе мы уже познакомились с неко­торыми способами определения операций над множества­ми и научились с ними работать с целью производить имеющие смысл вычисления. Конечно, существует мно­го различных операций, которые могут быть определены па множестве, и, следовательно, в некотором смысле ал­гебраических структур больше, чем множеств. Однако получается так, что большинство полезных структур (под этим мы подразумеваем структуры, которые описы­вают естественно возникающие явления и пригодны для вычислений) может быть разбито на небольшое число типов. В этой главе мы вначале введем терминологию, которая имеет отношение ко всем алгебраическим струк­турам, а потом займемся некоторыми специальными структурами, которые, на наш взгляд, ближе всего от­носятся к вычислениям. Это нам позволит связать ранее «оборванные» нити рассуждений, с тем чтобы приступить к изучению структур, а также чтобы подвести серьез­ный математический фундамент под оставшуюся часть книги.

Центральное место в наших рассмотрениях занимают поля, линейная алгебра и булева алгебра. Поля формиру­ют основу простой арифметики, линейная алгебра обес­печивает основу для геометрии и операций с числами, а булева алгебра содержит в себе основные положения элементарной логики. Разумнее начать изучение с та­ких структур, которые могут рассматриваться как части поля. Затем поля будут расширены до векторных про­странств.

Аналогично мы расширим изучение булевой алгебры, включив решетки и свободные полукольца. Некоторые другие структуры будут кратко упомянуты в упражне­ниях к этой главе.