§ 6. Операции

Часто некоторые функции (такие, например, как сло­жение целых чисел) используются при введении более простых обозначений. Это можно использовать для опи­сания основных идей, изложенных в предыдущих пара­графах, что, в свою очередь, позволит нам сделать дока­зательства более короткими и в то же время точно вы­делить свойства, на основе которых делаются выводы. Более детальное исследование будет проведено в гл. 5-8.

Определение.Операцией над множеством S на­зывается функция . В этом определении есть два важных момента, которые заслуживают особого упоминания. Во-первых, раз операция является функцией, то результат применения операции однозначно определен. Поэтому данный упорядоченный набор из п элементов в S функция f переводит только в один элемент S. Во-вторых, поскольку область значений операции лежит в S, на которое операция действует, будем говорить, что операция замкнута на S.

Говорят, что операция имеет порядок п. Ограничимся рассмотрением ситуаций, когда порядок равен 1 или 2. В этом случае операции называют монадическими (пли унарными) и диадическими (или бинарными) соответственно. Элементы набора из п элементов в области определения называют операндами. Операции обычно обозначают символами, называемыми операторами. В случае унарных операций обычно символ оператора ставят перед операндом. /

Наиболее простым примером является операция изменения знака на R. В предположении, что операция сложения уже определена, — х определяет операцию (хотображается в у: х + у = 0).

Определение. Бинарные операции обозначают одним из трех способов. В первом случае оператор ста­вится между операндами(infix),во втором — перед опе­рандами(prefix)и в третьем — после операндов(post­fix).II

Пример 6.1.

Переход от одной формы к другой нетруден и лучше всего описывается в терминах ориентированных графов, которые будут обсуждаться в § 6 гл. 7.

В соответствии с большинством математических тек­стов, исключая некоторые работы по алгебре и формаль­ной логике, мы будем использовать обозначение infix. Другие обозначения имеют то преимущество, что не требуют скобок при определении порядка вычислений сложных выражений, и это делает их особенно удобными для автоматической обработки. Читатель может проверить соответствие между следующими парами выражений, записанными в формах infix и postfix соответственно:

+ g

Пример 6.2. Рассмотрим алгебраическое выражение а+b•с+(d+е*(f+g))

и его представление на рис. З.И, которое пазывают деревом. Из свойств арифметических операций мы знаем, что значение этого выражения можно вычислить многими способами. Однако если двигаться слева направо и снизу вверх, то получаем

Здесь греческими буквами обозначаются промежуточные результаты, за исключением — искомого результата.

В ычисление значения этого выражения с помощью дерева производится очень просто, однако если работать непосредственно с исходным выражением, то это можно

Рис. 3.11

сделать по-другому. Действительно, обычно (infix)вы­ражение, как это показано в примере, нерегулярно потому, что некоторые подвыражения заключены в скобки, а некоторые нет. Особенно такая ситуация будет наблюдаться в том случае, если проинтегрировать информацию о различных символах па дереве (поскольку на самом деле его пет). Очевидно, что формы записи prefix и postfix этого выражеиия несут больше информации.

Вычисление значения выражения в форме postfix осу­ществляется следующим образом:

Аналогично в форме prefix вычисления осуществляются следующим образом

«Переходы» по дереву показаны на рис. 3.12, а (форма prefix)на рис. 3.12, b (форма postfix)и на рис. 3.12, с (форма infix)со скобками:

((a+(b*c))+(d+(e.(f+g))));.

К этим вопросам мы вернемся позднее.

Конечно, мы уже знакомы со многими бинарными операциями, например с арифметическими операциями +,*, —, / и операциями над множествами — объединением( ) и пересечением ( ).

Операции, определенные на конечных множествах, часто удобнее задавать при помощи таблиц.

Пример 6.3. Пусть операция ® определена на мно­жестве {а, Ь, с)при помощи таблицы

Следовательно,

a Θb=a

b Θ b=a

c Θ b=b,…

Такие символы, как ө и Θ, будут использоваться для обозначения различных операций, которые будут вводиться в процессе изложения. Очевидно, что использование таблиц имеет важное значение, так как некоторые операции, с которыми приходится иметь дело в компьютерной математике, непригодны для словесного задания.

Обратим теперь внимание на свойства операций. Операции вместе со своими следствиями обеспечивают основу всех алгебраических вопросов математики, так как они определяют порядок работы с объектами.

Определение. Говорят, что бинарная операция Θ на множествеА коммутативна, если

аΘb=bΘадля всех а,b А.

Следовательно, обычная операция сложения на Z коммутативна, а вычитания — нет.

Определение. Говорят, что операция Θ на множестве А ассоциативна, если

(аΘ b) Θ с=аΘ (b Θ с)для всех а, b, с А. /

Заметим, что в определении ассоциативности порядок операндов а, b и с сохранен (операция может быть некоммутативной!) и использованы круглые скобки, что­бы определить порядок вычислений.

Таким образом, выражение (аΘb)Θс требует, чтобы сначала вычислялось а Θ b и результат этого (скажем, х)участвовал в операции с c, т. е. давал xΘс. Если операция ассоциативна, то порядок вычислений несуществен и, следовательно, скобки не требуются.

Пример 6.4. Над Z имеем

(1 + 2) + 3 = 1 + 2 + 3=1+(2 + 3),

но

(1 — 2)— 3 = —4 и 1 — (2 — 3)= 2.

Таким образом, операция вычитания не ассоциативна. / Коммутативность и ассоциативность являются двумя важными свойствами, которые могут быть определены для простых операций. Перед тем как описывать свойства, связывающие две операции, определим некоторые термины, относящиеся к специальным элементам множеств, к которым эти операции применяются.

Определение. Пусть Θ — бинарная операция на множестве А и 1 А такая, что

l Θ а = а для всех а А.

Тогда l называется левой единицей по отношению к Θ

на А. Аналогично, если существует r А такое, что а Θ r = а для всех аеД

то r является правой единицей по отношению к Θ Далее, если существует элемент е, который является и левой, и правой единицей, т. е.

еΘа=аΘе—адля всех а А,

то e называется (двусторонней) единицей по отношению к Θ./

Пример 6.5. Над R 0 является правой единицей по отношению к вычитанию п единицей по отношению к сложению, так как

а — 0 = а,

но

, если ;

а + 0 = а и 0 + а = а для всех а. II

Определение. Пусть Θ—операция на A с единицей е и х Θу = е. Тогда говорят, что х — левый обратный элемент к у, а у — правый обратный элемент к х. Далее, если х и у такие, что

х Θ у = е = у Θ х,

то у называется обратным элементом к х по отношению к Θ, и наоборот. II

Замечание. В некоторых работах левые (правые) обратные элементы относят к левой (правой) единице, однако, как мы скоро увидим, в большинстве случаев единицы являются двусторонними и, следовательно, не требуется делать никаких различий. Для решения уравнений необходимо существование и единственность единиц и обратных элементов. Менее общим свойством операций является идемпотентность, хотя оно используется в алгебре логики.

Определение. Пусть операция Θ на множестве А и произвольный элемент х А таковы, что х Θ х = х. Тогда говорят, что х идемпотентен по отношению

к Θ. //

Очевидно, что любое подмножество идемпотентно по отношению к операциям пересечения объединения.

Определение. Пусть дано множество А,на котором определены две операции Θ и ө. Тогда, если

аΘ(bө с) = (аΘb)ө (аΘс)для всех а,b,с А, то говорят, что Θ дистрибутивна по отношению к ө-

Если сказанное выше не совсем понятно, следует провести соответствие между этим тождеством и обыч­ной арифметикой на R, например,

3*(1 + 2) = (3 * 1) + (3 * 2).

Может вызвать удивление, что в § 5 рассматривались только несколько специальных свойств, и можно прийти к выводу, что практически ничего нельзя вывести из того факта, что множество и связанные с ним операции обладают некоторыми из этих свойств. На самом деле (как будет видно из последующих глав) наиболее обще­известная алгебра может быть построена из относительно небольшого набора основных правил. Сейчас мы продемонстрируем, как из элементарных предположений можно извлечь некоторые простые следствия; большинство примеров дано в виде упражнений.

Пример 6.6. Пусть ® — операция на множестве А и существует единица по отношению к Θ, Тогда единичный элемент единствен.

Доказательство. Предположим, что хиу —единицы по отношению к Θ, т. е.

хΘа=аΘх=а,

уΘа=аΘу=адля всех а A.

Тогда х=хΘу,так как у—единица, и xΘу=у,поскольку х — единица. Следовательно, х = у.

Пример 6.7. Пусть Θ — ассоциативная операция на множестве А и е — единица по отношению к Θ. Тогда если х А и х имеет обратный, то обратный элемент единствен по отношению к Θ.

Доказательство. Допустим, что х 'и х" — об­ратные элементы к х, так что

хΘх'=х'Θх=еихΘ х" = х" Θ х = е.

Тогда

х' = х' Θ е= х' Θ (х Θ х") = (х' Θ х) Θ х"=

=еΘх"= х*.

Упражнение 3.6.

1. Рассмотреть указанные ниже «определения» Θ. Решить, правильно или нет каждое из них определяет бинарную операцию, и если так, то является ли операция коммутативной. Найти, если это возможно, единицу и обратный элемент к х. Предполагаются выполненны­ми обычные свойства арифметики:

а) хΘу=х— у на N;

б) хΘу= (х*у-1 на Z;

в) хΘу= max{х,у)наN;

г) хΘу= {х:0 x,x R};

д) хΘу=х/уна {х: 0 х,x R}.

2. Определим операцию ф на множестве {а, Ь, с),как указано ниже. Проверить, что ф ассоциативна и комму­тативна и найти единичный элемент.

3. Предполагая обычные свойства операций +, —, * и / на R, доказать, что операция , определенная на [1, ∞[ следующим образом:

ассоциативна. Обосновать ответ.

Указание: не следует особо обращать внимание на область определения.

4. Пусть Θ — ассоциативная операция на множестве Ас единицей е такая, что каждый элемент а А обраим и обратный обозначается через а'. Показать, что

(а Θb)' = Ь'Θ а'.

5. Показать, что если Θ— ассоциативная операция на множества Ас единицей е такая, что аΘа= е для каждого а A, то Θ коммутативна.

6. Пусть Θ — ассоциативная операция на множестве А такая, что для любых а, b А,если аΘb=bΘа, то а = b. Показать, что каждый элемент А идемпотентен по отношению к Θ. Что можно сказать про Θ, если операция имеет единицу?