Аксиоматическое определение вероятности.
Необходимость формально логического обоснования теории вероятностей, её аксиоматического построения возникла в связи с развитием самой теории вероятностей как математической науки и её приложений в различных областях.
Впервые идея аксиоматического построения вероятностей была высказана российским академиком Бернштейном (Бернштейн Сергей Натанович 1880-1968), исходившим из качественного сравнения событий по их большей или меньшей вероятности.
В начале 30-х годов прошлого столетия академик Колмогоров (Колмогоров Андрей Николаевич 1903-1987) разработал иной подход, связывающий теорию вероятностей с современной метрической теорией функций и теорией множеств.
Приведём систему аксиом, предложенную Колмогоровым.
Аксиоматическое определение.
Вероятностью события А называется число Р(А), которое сопоставляется каждому событию рассматриваемого множества событий и которое удовлетворяет следующим аксиомам:
Аксиома 1: (неотрицательности) Вероятность любого события неотрицательна.
Аксиома 2: (нормировки) Вероятность достоверного события равна 1.
Аксиома 3: (сложения) Вероятность суммы любого конечного множества попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Аксиома 4: (однозначности) Эквивалентные события имеют равные вероятности.
Следствия из аксиом:
Вероятность невозможного события равна 0.
Вероятность события противоположного событию А
Вероятность любого события
Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислить вероятности любых событий через вероятности элементарных событий.
Вопрос о том, откуда берутся вероятности элементарных событий, при аксиоматическом построении теории вероятностей не рассматривается. На практике они определяются с помощью классического, статистического, геометрического определений.
Таким образом, аксиоматическое определение:
Обобщает классическое, статистическое, геометрическое определения.
Постулирует существование вероятности как объективно существующей характеристики реальных событий, не зависящей ни от самого исследователя, ни от количества проведённых им экспериментов.
§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Как правило, для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Применяя косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными теоремами теории вероятностей – теоремами сложения и умножения вероятностей. Эти теоремы могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. Для остальных событий они принимаются аксиоматически.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух любых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
(доказательство самостоятельно)
Следствия:
1. Вероятность суммы двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий:
.
2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Частный
случай:
.
3. В
случае суммы трёх и более событий проще
перейти к противоположному событию:
Пример: В колоде 36 карт. Объявлен козырь. Какова вероятность того, что вынутая наудачу карта будет козырем или тузом?
Решение: Пусть событие А – вынутая карта козырь, событие В – вынутая карта туз.
Тогда
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=
.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Пример:
В урне 2 белых и 1 чёрный шар. Вынимают
два шара. ассматриваются события: А –
появление первого белого шара, В –
появление второго белого шара. Вероятность
события В если известно, что первый шар
возвращается в урну, равна -
,
если известно, что не возвращается,
становится равной
.
Следовательно, В зависит от А.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается
Условие
независимости события А от события
В:
