§ 7. Свойства некоторых элементарных функций, их конформные отображения

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи: 1) прямая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении, 2) обратная задача заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую линию или область.

Для решения данных задач необходимо знать некоторые свойства основных элементарных функций.

1. Линейная функция .

a, b , т.е. . Т.к. , тогда имеем, что , следовательно, , .

1) – аналитическая функция, т.е. u и v – гармоническая пара, т.к. выполняются условия КРЭДа: , .

2) для всех z .

Из 1) и 2) следует, что отображение, реализуемое линейной функцией, конформно на всей плоскости Гаусса.

Пусть плоскости и и оси координат совпадают. Рассмотрим частные случаи.

1) Пусть (а = 1)

.

Преобразование сводится к сложению переменного вектора с данным вектором , т.е. параллельному переносу плоскости на вектор (рис. 22). Поворота при этом не происходит, т.к.

2) Пусть (b = 0)

.

Угол поворота Коэффициент растяжения

Если а – действительное число, то поворота не происходит и вектор всякого комплексного числа растягивается в раз, например, окружность единичного радиуса на плоскости превращается в окружность радиуса на плоскости , и все точки окружности перемещаются в соответствующие точки по радиусу.

Если а – комплексное число, то происходит и растяжение, и поворот одновременно.

Вывод: отображение, осуществляемое линейной функцией, представляет собой композицию растяжения , поворота и параллельного переноса .

Замечание 1. Обратной к линейной функции будет функция .

Замечание 2. Отображение конформно во всей расширенной плоскости и имеет две неподвижные точки: (,

Пример . С помощью функции найти отображение окружности

на плоскость (Оuv).

Решение.

Имеем ,

отсюда , . Подставим данные выражения в уравнение окружности и получим , следовательно, искомым отображением является окружность с радиусом 2 и с центром в точке (1, 0).

2. Простейшая дробно-линейная функция .

– аналитическая функция, т.к. выполняются условия КРЭДа. ни при каком конечном z (лишь при ), следовательно, производная существует всюду, кроме z = 0.

Отображение, реализуемое функцией, конформно всюду на , кроме точки z = 0 и бесконечно удаленной точки . Если положить , то отображение будет конформно во всей плоскости , при этом угол между прямыми в точке О отображается на такой же угол в бесконечно удаленной точке .

Геометрический смысл отображения.

Пусть , тогда его образ можно найти по формуле Муавра ,т.е. . Видно, что 1) , а , 2) , а (рис. 23). Отсюда можно сделать вывод: отображение может быть представлено в виде двух составляющих: 1) и 2). Разберем подробнее каждую составляющую.

1) Окружность радиуса r отображается с помощью функции в окружность радиуса , т.е., если точка z лежит внутри единичной окружности на плоскости (Oxy) , то ее образ точка лежит вне единичной окружности на плоскости (Ouv). Все точки окружности отображаются в себя, т.е. остаются на месте; концентрические окружности радиуса < r переходят в окружность радиуса > r и обратно. Точки 0 и переходят друг в друга.

Определение . Преобразование, переводящее внутренность единичного круга во внешность и наоборот, называется инверсией.

То есть инверсия – зеркальное отображение плоскости z относительно окружности.

Свойство инверсии: при инверсии все окружности, а также прямые преобразуются в окружности или в прямые, причем окружность, равно как и прямая, может преобразоваться либо в окружность, либо в прямую. Вообще говоря, инверсия представляет собой антиконформное отображение.

, , т.к. , то (*).

Определение . Точка называется симметричной точке относительно окружности , если данные точки лежат на одном луче и ∙= (рис. 24). Точки называются симметричными относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат, если они расположены на одном луче, а произведение длин их радиус-векторов равно единице.

Следовательно, из определения и из (*) следует, что функция отображает любую точку, лежащую внутри единичного круга в симметричную ей точку относительного данной окружности, лежащую вне единичного круга и обратно, т.е – инверсия относительно единичной окружности.

2) Вторая составляющая отображения –, т.е., как было показано выше: , а , геометрически означает симметрию относительно действительной оси.

Построение образа точки.

Построим окружность с центром в точке О единичного радиуса (рис. 25). Возьмем внутри окружности точку z. Через точки О и z проведем луч (b) и перпендикулярную ему прямую (а). Через точку пересечения прямой (а) и окружности построим касательную к окружности до пересечения с лучом (b). Это точка . Построим симметричную ей точку относительно оси (Ох). Эта точка и есть образ точки z при отображении .

Вывод: при отображении, реализуемом функцией , происходит инверсия: внутренность единичного круга отображается в его внешность и наоборот, при одновременном симметрическом отображении относительно оси (Ох).

Замечание 1. При отображении окружности и прямые, не проходящие через точку z = 0, отображаются в окружности, а окружности и прямые, проходящие через эту точку, – в прямые. Прямая считается окружностью бесконечного радиуса.

Замечание 2. Обратной к простейшей дробно-линейной функции будет функция , причем сопряженная функция имеет вид

Замечание 3. Если бы аргумент не менялся, т.е. , то при отображении прообраз переходил бы в образ, а образ – в прообраз, т.е. рассматриваемое отображение плоскости в себя само себе обратно. Такие отображения называются инволюциями.

Замечание 4. В некоторых задачах для нахождения образа данной линии при отображении удобно пользоваться следующим правилом: 1) выразить z из , т.е , 2) найти , 3) подставить и в уравнение линии.

Пример . Найти точку, симметричную точке z = 1 + i, относительно окружности .