- •§ 7. Свойства некоторых элементарных функций, их конформные отображения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •5. Показательная функция
- •Решение.
- •6. Тригонометрические и гиперболические функции
- •7. Функция Жуковского
- •§ 8. Интеграл от фкп п. 1. Определение, теорема существования
- •П. 2. Вычисление и свойства
- •Свойства
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Следствия из теоремы Коши
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
Решение.
где , .
Исключим t из выражений. Подставим в выражение для . , тогда – семейство парабол, направленных в отрицательную сторону оси с вершиной в точке В(;0), причем каждая парабола является образом двух прямых: z = ± C+i. (рис. 28).
Замечание. Обратная к степенной функция – – многозначная, ее однозначная ветвь, выделяемая образом одной их точек, отображает плоскость (z) с разрезом по неотрицательной оси (Оx) на соответствующий сектор.
5. Показательная функция
Функция является периодической с мнимым периодом . Это гармоническая функция; отображение, осуществляемое ей, конформно на всей плоскости.
Пример . Найти образы семейства прямых, параллельных оси (Оу) z = C+it при отображении .
Решение.
т.е. – параметрическое уравнение окружности с радиусом . Когда точка z проходит прямую на плоскости (z), то точка при обходит бесконечно много раз окружность (рис. 29).
Замечание. Обратная к показательной функция является однозначной на римановой поверхности. Ее главное значение определяет конформное отображение всей плоскости () с разрезом ( на полосу шириной , параллельную действительной оси.
6. Тригонометрические и гиперболические функции
1) .
Функция однолистна в полуполосе и отображает эту полуполосу на плоскость с разрезом Склеивание листов римановой поверхности происходит отдельно по лучу и по отрезку [–1,1].
2) .
Функция сводится к при помощи соотношения: .
3) , .
Функции сводятся к и при помощи соотношений: ; .
7. Функция Жуковского
Функция аналитическая во всей плоскости Гаусса за исключением точек z1 =1, z2 = –1, z3 =0, так как .
Функция конформна в расширенной плоскости, за исключением точек z1 =1, z2 = –1, z3 =0 и осуществляет конформное отображение как внешности, так и внутренности единичного круга плоскости (z) на плоскость с разрезом по отрезку Полная плоскость (z) отображается на двулистную риманову поверхность, склеенную крест-накрест по разрезам
Обратная функция – двузначна, причем каждая ветвь осуществляет отображение плоскости с разрезом по на внутренность или внешность единичного круга в плоскости (z).
Конформное отображение, осуществляемое функцией, было использовано Н.Е.Жуковским для решения задач обтекания крыла самолета.
§ 8. Интеграл от фкп п. 1. Определение, теорема существования
Пусть l – дуга направленной кусочно–гладкой кривой, уравнение которой где , лежащей в плоскости (z). Пусть на l лежат точки А и В. Кривая направлена, значит на ней задано направление: при возрастании t точка перемещается от т. А к т. В. Пусть на кривой задана однозначная и непрерывная ФКП . Разобьем дугу АВ произвольным образом точками на n элементарных дуг, , соответствующим значениям параметра: . Обозначим . Выберем на каждой элементарной дуге по точке , и составим интегральную сумму: .
Определение . Если существует конечный предел интегральной суммы при , который не зависит ни от способа разбиения дуги на элементарные дуги, ни от выбора на них точек , то он называется интегралом от функции по дуге кривой l и обозначается .
Теорема существования. Если функция непрерывна на l , то интеграл от нее по дуге l существует.
(без доказательства)