§2. Алгебра событий.

На практике часто встречаются такие ситуации, когда исход проводимого нами опыта (эксперимента, испытания) нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Например, невозможно предсказать, какая сторона выпадет при бросании монеты, выпадет ли выигрыш на лотерейный билет с таким-то номером, совпадут ли дни рождения у двух наугад выбранных людей и т.д. Во всех подобных ситуациях мы вынуждены считать результат опыта зависящим от случая, рассматривать его как случайное событие.

Случайным событием (возможным событием) называется любой факт, который в результате опыта (эксперимента, испытания) может произойти или не произойти. Событие – не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход (результат) опыта. События обозначают прописными буквами: А, В, С,… Понятие события – одно из основных понятий теории вероятностей.

Если наступление события возможно в опытах, которые можно повторять неограниченное число раз, то такие события называются массовыми. Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно должно произойти. Обозначается – U. Невозможное событие – событие, которое никогда не наступит при осуществлении данного опыта. Обозначается – V.

Пример. Опыт – подбрасывание игральной кости. Выпадение целого числа очков – достоверное событие. Выпадение 0 – невозможное событие.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Пример. Получение студентом на экзамене оценок «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» по одной дисциплине – несовместные события, а по трём дисциплинам – совместные события.

События называются равновозможными, если условия их появления одинаковы, ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Опыт – подбрасывание монеты. Выпадение «Г» или «Ц» - равновозможные события.

Группа несовместных равновозможных событий называется полной группой событий, если в результате опыта наступает обязательно одно и только одно событие этой группы.

Пример. Опыт – подбрасывание кубика. События - выпадение i очков.

- полная группа событий.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что событие А влечёт за собой событие В, и обозначают .

Пример. Опыт – подбрасывание кубика. А – выпадение чётного числа очков, В – выпадение числа очков . .

Очевидно, что для любого события А:

Если и , то события называются эквивалентными (или равными) А=В.

Операции над событиями.

Событием противоположным событию А ( отрицанием А, не А) называется такое событие , которое происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Пример. Опыт – подбрасывание монеты. Выпадение «Г» или «Ц» - противоположные события.

Противоположные события частный случай событий, образующих полную группу.

Свойства: 1.

2.

3.

Суммой событий А и В (или конечного числа событий) называется такое событие А+В (А или В), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий.

Пример. - попадание в цель при i-ом выстреле.

- при n выстрелах хотя бы одно попадание.

Свойства: 1. A + U = U

2. A + V = A

3. A + =U

4. A + A = A

5. A + B = B + A

6. (A + B) + C = A + (B + C)

7. Если , то А + В = В

8. Для полной группы событий =U

Произведением событий А и В (или конечного числа событий) называется такое событие (А и В), которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события одновременно.

Пример. Опыт – подбрасывание кубика. А – выпадение чётного числа очков. В – выпадение числа очков, кратных 3. Тогда - выпадение «6».

Свойства: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Если , то =A

Разностью двух событий А и В называется такое событие А-В (А без В), которое происходит тогда и только тогда, когда событие А произойдёт, а событие В не произойдёт.

Пример. Опыт – подбрасывание кубика. А – выпадение чётного числа очков. В – выпадение «2». Тогда А-В – выпадение «4», «6».

Свойства: 1. А - = А

2. А - U = V

3. А - V = А