3). Модель пропозиції та попиту

На конкурентному ринку рівновага обміну встановлюється як рівновага між пропозицією та попитом. Нехай у₁ та у₂ - обсяги попиту і пропозиції деякого продукту в певний день на деякому ринку, р - ціна реалізації продукту. Оскільки ціна може не влаштовувати покупців та продавців, то обсяг проданого товару змінюється, тобто

Y₁ = f₁ ( p, u_i^{^} ) - функція попиту; Y₂ = f₂( p, U) - функція пропозиції.

Знаючи ціну р, можна визначити величини попиту та пропозиції.

Отже, моделлю рівноваги на розглянутому ринку буде: Y₁ = Y_2.

В реальних умовах попит і пропозиція певного товару залежать не лише від ціни р на нього, але і від цін товарів, що можуть його замінити або доповнити. Попит залежить ще від доходу покупців, а пропозиція залежить від виробничих умов. В цій моделі попит залежить від ціни у період t, а пропозиція - від ціни попереднього періоду ( t -1 ). Таке явище називається лагом (запізненням) ціни.

6. Метод найменших квадратiв (мнк)

Метод найменших квадратів – метод розрахунку параметрів моделі Y_р= â₀ + â_1·x + u_i^{^} Ідея методу базується на тому, що величина u_і має буде мінімальною:

= ∑(y_i - ỳ) або ∑(y_i - ỳ)² або ∑│y_i - ỳ│ min.

Краще всього в ролі функції оцінки відхилень взяти суму квадратів відхилень кожної точки від свого розрахункового значення Q (â₀ , â₁) = = ∑(y_i - ỳ_i)² = ∑( y_i – (â₀ + â_1·x_і+ u^{^}_i))².

Ця функція має min значення в тих точках, де частинні похідні по змінних â_0, â₁l дорівнюватимуть нулю:

=0, ( y_i – (â₀ + â_1·x_і))(-1) = 0, ∑ y_і – ∑â₀ – ∑ â_1·x_і = 0,

=0 (( y_i – (â₀+ â_1·x_і))(- x_i)=0 ∑ y_і·х_і – â₀ ∑ х_і – â₁ ∑ _·x_і² =0,

З аписується остаточна система рівнянь: n â₀ + â₁ ∑ _·x_і = ∑ y_і ,

â₀ ∑ х_і + â₁ ∑ _·x_і² =∑ y_і·х_і ,

n – кількість спостережень.

Розв’язання системи рівнянь проводиться за допомогою оберненої матриці або за правилом Крамера. Основний визначник системи , тому існує єдиний розв'язок системи: .

ả_{1 = = ;} ả_{0 = = .}

З цього випливає, що лінія регресії проходить через точку, координати якої є середніми значеннями показника Y та фактора X: . Середнє значення прогнозу показника Y _р при значенні фактора Х_р визначається за формулою = ả₀ + ả₁

7. Дисперсійний аналіз моделі

Для аналізу якості існуючої залежності між факторами регресії використовуються коефіцієнти (індекси) детермінації і кореляції.

Залишки моделі розраховуються: = u^{^}_{і .} Перепишемо цю залежність у іншому вигляді, враховуючи, що :

у_і - = ( â₀ + â_1·x_і+ u^{^}_і) – ( â₀ + â_1· ) = â₁ ( x_і - ) + u^{^}_і

у_і - )² = â₁ ( x_і - ))² + 2 â₁ x_і - )· u_і + =

= â₁ ( x_і - ))² + 2 â₁ x_і - )·(( у_і - ) – â₁ ( x_і - )) + .

Оскільки â₁ = , то = â₁ , і

другий доданок дорівнюватиме нулю.

= - )² + .

• Дисперсія залишків ( випадкова дисперсія) D_u = = характеризує міру відхилень значень залежного фактора y_i від розрахованих значень за моделлю y_i^.

• Дисперсія залежної змінної D_у = характеризує міру відхилень значень залежного фактора y_i від середнього значення .

• Систематична дисперсія D_y^{^} = â₁ ( x_і - ))² = - )² характеризує міру відхилень розрахованих значень за моделлю y_i^ від середнього значення .

• Таким чином дисперсія залежної змінної дорівнює сумі систематичної дисперсії і дисперсії залишків: D_у = D _y^ + D_u , = - )² + .

• Коефіцієнт детермінації R² = 1- = є (0;1)

знаходиться для перевірки якості рівняння регресії і визначає характер лінійного впливу зміни значень факторів моделі на змінну Y, тобто на скільки відсотків рівняння регресії пояснює поведінку залежної змінної Y.

Крім того, показник R² може виявитися в ході розрахунків відємним, чому може сприяти: неякісна лінійна модель (звязок в моделі є нелінійним);

коефіцієнт моделі а₀ є дуже і дуже малим;

малий обсяг статистичних даних.

• Коефіцієнт кореляції R =√ R² є (-1;1) характеризує тісноту лінійного зв’язку:

чим тіснішим є лінійний звязок між Х і Y, тим ближче R 1,

чим слабшим є лінійний звязок між Х і Y ,тим ближче R 0.

Крім того, якщо R > 0, то характер зміни Х і Y однаковий, R > 0 при а^{^}₁ > 0;

якщо R < 0, то характер зміни Х і Y протилежний, R < 0 при а^{^} ₁ < 0 ;

якщо R (X,Y) = 0, то величини X та Y некорельовані.

або вибірковий коефіцієнт кореляції

• Стандартне (середнє квадратичне) відхилення оцінки ả₀ :  _ả0 =  _u^

• Стандартне (середнє квадратичне) відхилення вільного члена рівняння регресії оцінки ả₁ знаходять за формулою _ả1 = _u^

• Інтервали надійності для оцінок :

• Межі (інтервали) надійності індивідуальних прогнозних

Y^*_пр - t_{α; ( n-2 )} · σ _u^ < Y^*_пр < Y^*_пр + t_{α; ( n-2)} · σ _u^

де t_a - статистика Ст'юдента, α- рівень значущості, k = n - 2 ступені свободи.