6. Формула полной вероятности. Формула байеса

Если событие может произойти одновременно с одним из событий , представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то события называются гипотезами, а вероятность события определяется по формуле полной вероятности

,

где – вероятность -ой гипотезы, а – условная вероятность события при осуществлении данной гипотезы.

Если известно, что в результате опыта событие произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности тех гипотез, при которых событие происходит с большей вероятностью, и уменьшаются вероятности остальных. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса

.

В правой части равенства в знаменателе дроби стоит полная вероятность события .

Задачи

1. В ящике имеется 8 пистолетов одной системы и одинаковые по виду. Из них два непристрелянных. Вероятность попасть в цель из непристрелянного пистолета 0,4, а из пристрелянного 0,8. Какова вероятность того, что выстрел из случайно взятого пистолета даст попадание?

2. 45 % телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15 % – на 2-м, остальные – на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

3. Имеются две одинаковые урны с шарами. В 1-й находится 3 белых и 4 черных шара, во 2-й – 2 белых и 3 черных. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

4. Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6, 2-м – 0,7, 3-м – 0,8. При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2, при двух – равна 0,6, при трех – цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.

5. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Bepoятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

6. Предположим, что 5 % мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек:

а) мужчина; б) женщина.

7. Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.

8. В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й – 30, 3-й – 20 изделий. Среди изделий 1-го завода 70 % первосортных, а среди изделий 2-го – 80 %, 3-го – 90 % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что изделие выпущено 1-м заводом?

9. В студенческой группе 70 % – юноши. 20 % юношей и 40 % девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал:

а) юноше; б) девушке?

10. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?

11. Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 200 м равна 0,3, а на остальной части – 0,8. Найти вероятность того, что корабль благополучно пройдет пролив.

12. В 1-й урне находится 7 белых и 5 черных шаров, а во 2-й – 4 белых и 8 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из 2-й урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

13. В вычислительном центре имеются 6 ЭВМ одной фирмы и 4 ЭВМ другой фирмы. Надёжность ЭВМ 1-ой фирмы равна 0,95, а у другой – 0,7. Студент производит расчёт на наудачу выбранной ЭВМ. Найти вероятность того, что до окончания расчёта ЭВМ не выйдет из строя.

14. В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Найти вероятность того, что для второй игры будут вытянуты два новых мяча.

15. В магазин поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92 % и 94 % случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

16. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 – только одни помехи. Если поступает полезный сигнал с помехами, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью p₁; если только помехи – с вероятностью р₂. Какова вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то сигнал?

17. Вероятность отказа прибора при воздействии на него только вибрации равна 0,1, а только перегрева – 0,05; вероятность отказа при воздействии вибрации и перегрева равна 0,2. При эксплуатации прибора вероятность возникновения перегрева равна 0,2, вероятность возникновения вибрации равна 0,3. Перегрев и вибрация возникают независимо. Найти вероятность отказа прибора.

18. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

19. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе с бензоколонкой, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

7. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход называют успехом) с одной и той же вероятностью p или произойти противоположное событие (такой исход называют неудачей) с вероятностью . Испытания такого рода называют испытаниями проводимыми по схеме Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, успех наступит ровно m раз вычисляется по формуле Бернулли

.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) не более m раз, находят соответственно по формулам:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом количестве испытаний приводит к громоздким вычислениям. В этих случаях используют приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Если число испытаний n достаточно велико, вероятность успеха p очень мала, то вероятность приближенно можно найти по формуле Пуассона

, где a=np.

Формулу Пуассона обычно используют, если и .

Если число испытаний n достаточно велико, вероятность успеха p не очень мала, то вероятность приближенно можно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа

,

где , – функция Гаусса.

Если число испытаний велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, успех наступит не менее m₁ и не более m₂ раз, приближенно вычисляется по интегральной формуле Лапласа

,

где , ,

– функция Лапласа.

Таблицы значений функций и приводятся в приложениях I и II учебного пособия [10].

Число m₀ наступления события в независимых испытаниях, прводимых по схеме Бернулли называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях m₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число m₀ определяют из двойного неравенства

,

причем: а) если число – дробное, то существует одно наивероятнейшее число m₀;

б) если число – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: и

Задачи

1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет:

а) два раза; б) не более восьми раз;

в) хотя бы один раз.

2. По мишени произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность п попаданий в мишень, где п = 0,1,2,3.

3. Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность получения не менее 80 % правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?

4. В ящике находится 70 % стандартных и 30 % нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу деталей не более одной окажется нестандартными.

5. В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти:

а) вероятность того, что в течение года придется заменить две лампочки;

б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.

6. В семье 6 детей. Найти вероятность того, что в данной семье не менее двух мальчиков, но не более четырех. Считать вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5.

7. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

8. Корабль выходит из строя, если получит не менее 5 попаданий в надводную часть или 2 попадания в подводную часть. Найти вероятность выхода из строя корабля при 5 попаданиях, если вероятности попадания в надводную и подводную части попадании в корабль относятся как семь к трем.

9. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5 % всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?

10. В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей установлено, что средний процент брака составляет 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было бы равно 60 шт.?

11. Вероятность получения отметки цели на экране обзорного радиолокатора при одном обороте антенны равна 1/6. Цель считается обнаруженной, если получены 3 отметки. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена не более чем за 5 оборотов антенны?

12. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) ровно 75 раз; б) более 75 раз.

13. Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения равна 0,2. Найти:

а) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказало не менее 4-х элементов;

б) наивероятнейшее число т₀ отказавших элементов;

в) вероятность Р₅(т₀).

14. Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,86. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят:

а) 4 раза; б) не менее 4 раз.

15. В урне 8 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимаются с возвращением 12 шаров. Найти вероятность того, что белых шаров будет вынуто: а)1; б) не менее 10 белых шаров?

16. Отмечено, что в городе D в среднем 10 % заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года:

а) ни одна пара не разведется;

б) разведутся две пары?

17. Вероятность выхода на линию каждого из 18 автобусов равна 0,9. Какова вероятность нормальной работы автобазы в течение дня, если для этого необходимо иметь на линии не менее 15 автобусов?

18. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) ровно 75 раз; б) более 75 раз.

19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».

20. Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. Число изделий, поврежденных при транспорти ровке, составляет в среднем 0,05 %. Найти вероятность что на базу поступит:

а) не более трех поврежденных изделий;

б) хотя бы два поврежденных.

21. Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность того, что при наборе будет допущено:

а) 6 ошибок; б) хотя бы одна ошибка.

22. Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда:

а) четверо родилось 23 февраля;

б) двое родилось 1 марта;

в) никто не родился 22 июня? (Считать, что в году 365 дней.)

23. Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное изделие окажется бракованным (т.е. с отклонением от стандарта), постоянна и равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных?

24. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Что вероятнее: отказ 10 приборов при испытании 80, или отказ 15 при испытании 120?

25. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %. Найти вероятность того, что из 700 посаженных семян будет 500 проросших.

26. В городе N из каждых 100 семей 85 имеют компьютеры. Какова вероятность того, что из 400 семей 340 имеют компьютеры?

27. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не более 230 раз.

28. Садоводческий кооператив застраховал на год свои дачные дома от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внес по 150 рублей. Вероятность пожара (в одном доме) в течение года равна 0,005, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 12000 рублей. Какова вероятность того, что страховая компания понесет убыток?

29. Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит менее 5 бракованных книг.

30. Стрелок сделал 80 выстрелов; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что:

а) стрелок попадет 56 раз;

б) число попаданий будет заключено между 50 и 60.

31. Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95 % окажется доброкачественных.

32. Вероятность рождения девочки равна 0,485. Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей девочек:

а) будет 300;

б) будет больше, чем мальчиков.

33. Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 70 % студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят:

а) 150 студентов; б) не менее 100 студентов;

в) не более 150 студентов?