Элементы теории корреляции и регрессионного анализа
Если в результате
осуществления некоторого эксперимента
наблюдаются две величины
и
то выборочный
корреляционный момент
величин
и
определяется формулой
,
где
–
пар значений, полученных в
независимых повторениях эксперимента,
Выборочный
коэффициент корреляции
равен
,
где
,
.
Выборочный коэффициент регрессии на
Выборочный коэффициент регрессии на
Выборочное уравнение регрессии на имеет вид
или
.
Выборочное уравнение регрессии на :
или
.
Задачи
Найти коэффициент корреляции и уравнения регрессии X на Y и Y на X:
3
4
6
7
5
10
9
12
Экспериментально получено 5 точек с координатами: (1; 4,3),(2; 5,3), (3; 3,8), (4; 1,8), (5; 2,3). Найти коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии Y на X и X на Y.
Составить регрессии X на Y иY на X:
Х
-3
-2
-1
0
1
2
-2
5
7
12
-1
20
23
43
0
30
47
2
79
1
10
11
20
6
47
2
9
7
3
19
5
27
63
67
29
9
Предел выносливости стали при изгибе Y (в Н/мм2) оценивается на основании другой её характеристики – предела упругости при кручении X (в Н/мм2). Результаты измерений:
-
51
67
84
81
101
109
71
97
109
51
105
89
25
30
43
44
57
58
43
46
62
45
55
45
По опытным данным для 12 марок стали вычислить коэффициент корреляции между этими характеристиками и найти уравнения линейной регрессии Y на X и X на Y.
По данным измерений двух переменных:
-
66
70
75
80
82
85
90
92
95
98
60
78
65
87
74
70
78
95
88
90
Вычислить коэффициент корреляции и найти уравнение линейной регрессии Y на X.
Растворимость (в 100 частях воды) азотнокислого натрия NaNO3 в зависимости от температуры t представлена в таблице:
-
0
4
10
15
21
29
36
51
68
66,7
71
76,3
80,6
85,7
92,9
99,4
113,6
125,1
Через
обозначено количество NaNO3 (в условных
частях). Найти линейную зависимость
от t.
Для изучения зависимости урожайности Y (в ц/га) от количества X внесённых удобрений (в т/га) проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева. Результаты собраны в таблице:
-
6
11
11
7
8
10
12
6
10
9
27
32
33
30
30
33
34
29
31
32
а) Построить диаграмму рассеивания;
б) Найти уравнение прямой регрессии Y на X, изобразить её на диаграмме рассеивания;
в) Какую урожайность следует ожидать при внесении 5 и 13 т/га удобрений?
Для исследования зависимости между длиной ампул X (в мм) и её объёмом Y (в см3) произведена случайная бесповторная выборка 10 ампул.
-
1,0
1,1
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,1
1,0
1,0
19,5
19,0
18,3
20,0
20,8
23,0
25,2
19,6
21,0
19.5
Статистическими методами изучить зависимость между случайными величинами X и Y; составить уравнение прямой регрессии Y на X, изобразить её на диаграмме рассеивания.
На 10 предприятиях исследовалась зависимость среднемесячной выработки продукции Y (в тыс. руб.) на одного рабочего от стоимости X (в млн. руб.) основных средств производства:
-
0,8
0,9
0,9
1,0
1,0
1,1
1,0
1,2
1,2
1,3
9,9
10,1
10,2
10,2
10,1
10,2
10,4
10,4
10,5
10,5
Составить уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y.
Найти выборочное уравнение регрессии
по данным, приведённым в следующей
корреляционной таблице:
2
3
5
25
20
-
-
20
45
-
30
1
31
110
-
1
48
49
20
31
49
Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии на по данным, приведённым в следующей таблице:
-
20
25
30
35
40
16
4
6
-
-
-
10
26
-
8
10
-
-
18
36
-
-
32
3
9
44
46
-
-
4
12
6
22
56
-
-
-
1
5
0
4
14
46
16
20