Представление гармонических колебаний в комплексной форме

Метод, основанный на символическом изображении комплексными числами синусоидальных функций времени, введенный в теорию переменных токов Штейнмецом и развитый затем Миткевичем, называется символическим (методом комплексных амплитуд). Он сочетает простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения количественных расчетов сложных электрических цепей с требуемой степенью точности.

Для представления синусоидальной величины a=A_msin(t+) комплексным числом на комплексной плоскости из начала координат под углом  к оси действительных чисел (+) проводят вектор, длина которого равна амплитуде A_m заданной функции (рис. 6).

+j

A_m



0 +

Рис. 6

Конец этого вектора располагается в точке, которой соответствует определенное комплексное число - комплексная амплитуда синусоидальной величины A_m=A_me^j. При увеличении во времени фазы (t+) угол между этим вектором и осью действительных чисел растет – вектор вращается. Факт этого вращения отображается с помощью множителя e^jt, называемого оператором вращения:

A_me^j(t+)=A_mcos(t+)+jA_msin(t+). (7)

Из (7) следует, что мнимая часть вращающегося вектора равна мгновенному значению синусоидальной величины.

Комплексное представление гармонической функции с геометрической точки зрения аналогично ее описанию вращающимся радиус-вектором. Однако комплексный метод при анализе электрических цепей имеет существенно большие возможности.

Пусть сила тока изменяется по закону: i=I_msin(t+).Символическое представление этого тока будет выглядеть следующим образом:

I_me^j(t+)=I_me^jte^j=I_me^jt,

где I_m - комплексная амплитуда тока.

Найдем производную по времени от синусоидального тока:

di/dt=I_mcos(t+)=I_msin(t++/2).

Символическое изображение полученной функции имеет вид:

I_me^{j(t++/2)}=I_me^je^jte^j/2.

Если учесть, что e^j=cos+jsin (формула Эйлера), то множитель e^j/2=j, а изображение производной от действительной функции тока - jI_me^je^jt=jI_me^jt. Следовательно, операция взятия производной от действительной функции заменяется умножением ее комплексного изображения на j. Для производной n-го порядка ее изображение равно (j)ⁿI_me^jt.

Найдем интеграл  idt, определяющий заряд на обкладках конденсатора:

 idt=(I_m/)cos(t+)=(I_m/)sin(t+-/2).

Постоянная интегрирования равна нулю, поскольку в данном случае заряд не имеет постоянной составляющей. Тогда конечное символическое изображение для исходной функции имеет вид:

(I_m/)e^{j(t+/2)}=j(I_m/)e^jt=(I_m/j)e^jt.

Операция интегрирования действительной функции заменяется делением ее комплексного изображения на j.

Напряжение на индуктивности и_L=Ldi/dt (ЭДС самоиндукции с обратным знаком). В связи с этим символическое изображение данной величины имеет вид:

jLI_me^jt=U_mLe^jt,

где

U_mL = jLI_m (8)

- комплексная амплитуда напряжения на индуктивности.

Выражение (8) представляет собой закон Ома в комплексной форме для индуктивности. В нем множитель jL называют комплексом индуктивного сопротивления.

Напряжение на конденсаторе и_С=(1/C) idt. Поэтому символическое изображение этой величины равно:

(I_m/jC)e^jt=U_mСe^jt,

где

U_mС =(I_m/jC) (9)

- комплексная амплитуда напряжения на емкости.

Уравнение (9) - закон Ома в комплексной форме для конденсатора, а 1/jC - комплекс емкостного сопротивления.

Символический метод позволяет свести дифференциальные уравнения электрической цепи к алгебраическим. Это связано с тем, что функции времени в каждом уравнении заменяются их комплексными изображениями. Множитель e^jt сокращается и в уравнениях остаются только комплексные амплитуды.

В качестве примера рассмотрим цепь, приведенную на рис. 2,а, выполнив алгебраизацию дифференциального уравнения (5).

В соответствии с рассмотренными правилами получим:

jLI_m + RI_m = _m,

I_m=_m /z=_m/(R+jL), (10)

где z=R+jL - полное комплексное сопротивление цепи, а (10) - закон Ома в комплексной форме.

Величина z=Ze^j (Z=R²+(L)²^1/2 - модуль полного сопротивления цепи; =arctg - сдвиг фазы колебаний тока относительно колебаний ЭДС).

Тогда

I_m=_m/Z=_m/R²+(L)²^1/2.

В этой формуле I_m представляет собой амплитуду тока.

Необходимо обратить внимание на следующий важный момент. Полное сопротивление исследуемой цепи образуется последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений. При этом выражение для z в комплексной форме представляет собой сумму R+jL. Это означает, что, не обращаясь к дифференциальному уравнению, можно записать закон Ома в комплексной форме, в котором комплексные составляющие полного сопротивления складываются по правилам сложения действительных сопротивлений. Такую же процедуру выполняют и при записи уравнений по второму правилу Кирхгофа: для определения напряжений на элементах цепи в комплексной форме комплексные амплитуды тока умножают на комплексы соответствующих сопротивлений.

При практическом использовании символического метода выделяют несколько этапов:

1. Исходные данные о параметрах всех элементов исследуемой цепи представляют в комплексном виде. Для этого, во-первых, синусоидальные ЭДС, заданные мгновенными значениями, преобразуют в комплексную форму (оператор вращения может быть опущен): e=_msin(t+) _m=_me ^j. Во-вторых, для элементов цепи определяют комплексные сопротивления или проводимости (таблица 1).

Таблица 1

Элемент	Параметр	Комплексное сопротивление	Комплексная проводимость
Резистивный Индуктивный Емкостной	R L C	R jL 1/jC=-j/C	1/R=g 1/jL=-j/L jC

2. В ветвях цепи выбирают условно положительные направления токов, указываемые на схеме стрелками. С учетом выбранных направлений токов по закону Ома или по правилам Кирхгофа составляют уравнения, описывающие состояние цепи. При этом все величины в данные уравнения подставляют в комплексной форме.

3. Решая систему полученных алгебраических уравнений, находят комплексные значения токов в ветвях и падений напряжений на всех элементах цепи. Множитель перед полученными экспонентами у комплексных величин определяет их амплитудное (действующее) значение, а показатель экспоненты - начальную фазу колебаний.