Описание электрических цепей с помощью дифференциальных уравнений

Классический метод анализа цепи переменного тока основан на составлении и решении дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов, напряжений и зарядов. Переменный ток представляет собой вынужденные колебания, возникающие в цепи под действием внешней причины - меняющейся во времени ЭДС источника. Поэтому уравнения цепи аналогичны дифференциальным уравнениям, описывающим вынужденные колебания в других физических системах, например в механических маятниках. Уравнения для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС составляются в соответствии с правилами Кирхгофа. При получении этих уравнений используются следующие известные соотношения:

- мгновенное значение напряжения на резисторе с сопротивлением R равно u_R=iR (i - мгновенное значение тока);

- ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности находится как e_S=-Ldi/dt (L - индуктивность катушки);

- ток, протекающий через конденсатор, равен i=Cdu_C/dt (C - емкость конденсатора, u_C - напряжение на его обкладках).

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего линейного однородного уравнения (исходное уравнение без правой части). При этом частное решение характеризует стационарный (установившийся) режим колебаний в электрической цепи, а общее - переходный процесс, соответствующий выходу цепи на этот режим в течение определенного интервала времени.

В качестве примера рассмотрим цепи, схемы которых изображены на рис. 2, и составим для них дифференциальные уравнения.

Рис. 2

Пусть внешняя ЭДС изменяется по гармоническому закону: e(t)=_msint. Согласно второму правилу Кирхгофа, в цепи, представленной на рис. 2,а, мгновенное значение падения напряжения на резисторе равно сумме мгновенных значений внешней ЭДС и ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке при прохождении через нее переменного тока:

iR = _msint - Ldi/dt.

Или в окончательном виде:

Ldi/dt + iR = _msint. (5)

В результате решения этого уравнения можно найти амплитуду тока в цепи и начальную фазу его колебаний. Зная эти параметры, легко определить падения напряжений на всех элементах цепи.

Для второй схемы (рис. 2,б) сумма мгновенных значений напряжений на резисторе и обкладках конденсатора равна внешней ЭДС:

iR + u_C = _msint.

Если i и u_C выразить через заряд q (i=dq/dt, u_C=q/C), то полученное уравнение приобретает вид:

Rdq/dt+(1/C)q=_msint. (6)

Его решение находят для заряда. Затем, дифференцируя заряд по времени, получают искомое выражение для тока цепи.

Рассмотренный аналитический метод позволяет получать достаточно полные сведения о физических процессах, происходящих в электрических цепях. Единственный его недостаток заключается в трудоемкости, особенно при исследовании разветвленных цепей, для которых приходится решать системы дифференциальных уравнений. Поэтому в электротехнике чаще пользуются методом вращающихся векторов и символическим методом.