§ 79. Взаимное расположение двух прямых
Следующие утверждения выражают необходимые и достаточные признаки взаимного расположения двух прямых в пространстве, заданных каноническими уравнениями
относительно общей декартовой системы координат.
а)
Прямые скрещиваются, т.е. не лежат на
одной плоскости
.
б) Прямые пересекаются.
,
но векторы
и
неколлинеарны (иначе их координаты
пропорциональны).
в) Прямые параллельны.
Векторы
и
коллинеарны, но вектор
им неколлинеарен.
г) Прямые совпадают.
Все три вектора: , , коллинеарны.
Доказательство. Докажем достаточность указанных признаков
а) Рассмотрим вектор и направляющие векторы данных прямых
, .
Если ,
то эти векторы некомпланарны, следовательно, данные прямые не лежат на одной плоскости.
б)
Если
,
то векторы
компланарны, следовательно, данные
прямые лежат в одной плоскости, а так
как в случае (б)
направляющие векторы
и
этих прямых предполагаются неколлинеарными,
то прямые пересекаются.
в)
Если направляющие векторы
и
данных прямых коллинеарны, то прямые
или параллельные, или совпадают. В случае
(в)
прямые параллельны, т.к. по условию
вектор
,
начало которого находится в точке
первой прямой, а конец – в точке
второй прямой не коллинеарен
и
.
г) Если
все векторы
и
коллинеарны, то прямые совпадают.
Необходимость признаков доказывается методом от противного.
Клетеник № 1007
§ 80. Взаимное расположение прямой и плоскости
Следующие утверждения дают необходимые и достаточные условия взаимного расположения прямой, заданной каноническими уравнениями
, (1)
и плоскости, заданной общим уравнением
(2)
относительно общей декартовой системы координат.
Плоскость и прямая пересекаются:
.
Плоскость и прямая параллельны:
,
.
Прямая лежит на плоскости:
,
.
Докажем сначала достаточность указанных признаков. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:
.
(3)
Подставляя в уравнение (2 (плоскости)) координаты произвольной точки данной прямой, взятые из формул (3), будем иметь:
,
или
.
(4)
1. Если , то уравнение (4) имеет относительно t единственное решение:
,
а значит, данная прямая и данная плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются.
2. Если , , то уравнение (4) не удовлетворяется ни при каком значение t, т.е. на данной прямой нет ни одной точки, лежащей на данной плоскости, следовательно, данные прямая и плоскость параллельны.
3. Если , , то уравнение (4) удовлетворяется при любом значении t, т.е. все точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит, данная прямая лежит на данной плоскости.
Выведенные нами достаточные условия взаимного расположения прямой и плоскости являются и необходимыми и доказываются сразу методом от противного.
Из доказанного следует необходимое и достаточное условие того, что вектор компланарен плоскости, заданной общим уравнением относительно общей декартовой системы координат.