Лекция 14. Преобразование координат.

1. Преобразование системы координат на прямой.

Пусть на прямой линии введены 2 системы координат с одним и тем же положительным направлением и одним и тем же масштабным отрезком. Пусть О – начало координат одной из них

(назовем ее старой), а - начало координат

другой (назовем ее новой). Пусть М – произвольная точка прямой, пусть х – координата точки М в старой системе (будем называть ее старой координатой). Пусть - координата точки М в новой системе (назовем ее новой координатой). Пусть - координата нового начала в старой системе.

Тогда по теореме Шаля имеет место равенство , т.е. или , т.е. старая координата точки М равна новой координате этой точки, сложенной с координатой нового начала в старой системе.

Такое преобразование системы координат называется переносом системы координат.

Из равенства вытекает, что (это выражение новой координаты через старую).

§ 96. Перенос декартовой системы координат на плоскости

Рассмотрим на плоскости две общие декартовы системы координат хОу и , имеющие соответственно одинаковые масштабные векторы (рис. 139). В таком случае говорят, что одна из этих систем получена переносом другой. Систему хОу будем называть старой, а систему - новой.

Обозначим через координаты нового начала в старой системе.

Рассмотрим проекцию точки на ось Ох параллельно оси Оу и введем промежуточную систему координат , полученную переносом системы хОу, при котором точка О переходит в точку . Точка в системе хОу имеет координаты , а точка в системе имеет координаты .

Пусть М – произвольная точка плоскости; - координаты точки М в системе хОу; - координаты точки М в системе ; - координаты точки М в системе .

На основании пункта 1 сегодняшней лекции, рассматривая переход от системы хОу к системе будем иметь

; .

И аналогично, рассматривая переход от системы к системе , будем иметь

,

Таким образом, окончательно, подставляя в предыдущую формулу; получим

, (1)

т.е. старые координаты х, у точки М соответственно равны новым координатам этой точки М сложенными с координатами нового начала координат в старой системе.

Можно выразить новые координаты через старые, т.е. определить обратное преобразование:

.

Перенос декартовой системы координат в пространстве

Для двух общих декартовых систем координат Охуz и , полученных одна из другой переносом, т.е. имеющих соответственно одинаковые масштабные векторы (рис. 140) имеют место формулы

(2)

г де х, у, z – координаты любой точки М в системе Охуz; - координаты точки М в системе ; - координаты точки в системе Охуz.

В самом деле, пусть проекция точки на плоскость хОу параллельно оси Оz.

Рассмотри систему координат , полученную переносом системы Охуz.

Тогда

.

В системе точка имеет координаты . Следовательно, . Отсюда и из предыдущих соотношений получаем формулы: . (2)

Формулы (1) и (2) называются формулами переноса системы координат.

Так как координаты вектора , заданного двумя точками и , равны , то из формулы (1) и (2) следует, что при переносе общей декартовой системы координат, координаты вектора не меняются.