Лекція 8

Векторні простори

§1. Основні поняття а) Означення

Множина V елементів x, y, z,… називається лінійним, або векторним, простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток αх кожного її елемента х на будь-яке число α теж належать множині V, причому виконуються наступні умови:

1. 

2. 

3. 0 – називають нульовим елементом.

4. –х називають елементом, протилежним до х.

5. 1·х=х.

6. 

7. 

8. 

Елементи векторного простору називають векторами.

Приклади векторних просторів.

1. Множина многочленів не вище п-го степеня з дійсними коефіцієнтами.

2. Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.

3. Множина всеможливих рядків, які містять п дійсних чисел.

Якщо в просторі V визначено множення його елементів на дійсні (комплексні) числа, то V називають дійсним (комплексним) векторним простором.

Із означення векторного простору випливають наступні властивості.

1. Єдиність нуля.

Якщо припустити існування двох нульових елементів 0₁ і 0₂, то із 0₁+0₂=0₁ та 0₂+0₁=0₂ і того, що 0₁+0₂=0₂+0₁, випливає 0₁=0₂.

2. Єдиність протилежного елемента.

Якщо припустити існування двох протилежних до х елементів y та z, таких, що х+у=0 і х+z=0, то із

y+x+z=y+(x+z)=y+0=y та

y+x+z=(y+x)+z=0+z=z

випливає y=z.

3. 0 · x = 0.

Дійсно, 0 · x = (0 + 0) x = 0 · x + 0 · x. Додавши до обох частин рівності - 0 · x , отримаємо 0 = 0 · x.

4. 

Дійсно, Додавши до обох частин рівності отримаємо

5. Якщо добуток αх=0, то або α=0, або х=0.

Дійсно, якщо то

6. є протилежним до х.

Дійсно, х+(-1)х=1·х+(-1)х=[1+(-1)]x=0·x=0, звідки (-1)х= -х.

Б) Розмірність і базис

Вектори а₁, а₂,…,а_k векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не рівні нулю, що

В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними.

Якщо вектори а₁,а₂,…,а_k лінійно залежні, тобто , і, наприклад, то

тобто

де

Це означає, що вектор а_k є лінійною комбінацією решти векторів системи. Отже, якщо вектори а₁, а₂,…,а_k лінійно залежні, то, принаймні, один із них лінійно виражається через решту. Ясно, що справедливе і зворотнє твердження.

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а₁, а₂,…,а_k називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а₁, а₂,…,а_k}.

Довільна матриця містить дві системи векторів:

систему векторів – рядків {а₁,а₂,…,а_m} і систему векторів – стовпчиків

, де а_і=(а_і1,а_і2,…,а_іп), і=1,2,…,m, , j=1,2,…,n.

Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A).

Таким чином, для знаходження рангу матриці досить з допомогою елементарних перетворень над рядками (стовпчиками) звести її до ступінчастого вигляду і підрахувати кількість ненульових рядків (стовпчиків), яка й дорівнюватиме кількості лінійно незалежних серед них, а, отже, рангу матриці.

Приклад.

Знайти ранг матриці.

.

Розвязання.

Зведемо матрицю А до ступінчастого вигляду з допомогою елементарних перетворень її рядків:

Отже, r(A)=3.

Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV

(від dimage-фр).

Наприклад, розмірність множини всіх векторів площини дорівнює два, розмірність множини просторових векторів – три. Простори із скінченною розмірністю називаються скінченновимірними.

Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо:

1. вона лінійно незалежна;

2. кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

Коефіцієнти даної лінійної комбінації називаються компонентами або координатами вектора за цим базисом.

В заданому базисі компоненти вектора визначаються однозначно.

Дійсно, при двох заданнях вектора х в базисі а₁,а₂,…,а_k, зокрема, та , отримаємо Оскільки всі коефіцієнти (бо система а₁, а₂,…,а_k лінійно незалежна), то

В п-вимірному просторі кожна впорядкована лінійно незалежна система із п лінійно незалежних векторів є базисом. Ясно, що в п-вимірному просторі кожну впорядковану лінійно незалежну систему із k<n векторів можна доповнити до базису.

Розглянемо в просторі V два базиси: е=(е₁,е₂,…,е_п) та (перший з них назвемо старим, а другий – новим). Виразимо кожний вектор нового базису через вектори старого базису:

Можна сказати, що нові базисні вектори виражаються через старі з допомогою матриці

стовпчиками якої є коефіцієнти їх розкладу за векторами старого базису. Матриця А називається матрицею переходу від базису е до базису . Матриця переходу є невиродженою, оскільки в іншому випадку її стовпчики, а, отже, і вектори , були б лінійно залежними.

Розглянемо зв’язок між координатами одного і того ж вектора в старому і новому базисах.

Нехай х=х₁е₁+х₂е₂+…+х_пе_п і

Підставивiи замість їх вирази через е₁,е₂,…,е_п, отримаємо

Із єдиності розкладу вектора х за базисом е₁,е₂,…,е_п, випливає

звідки .

Таким чином, старі координати вектора отримуються із нових з допомогою тієї ж матриці А, тільки коефіцієнти відповідних розкладів утворюють тепер рядки цієї матриці.

Приклад.

Нехай е₁, е₂ – одиничні вектори, розташовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат. Повернемо осі координат на кут φ проти годинникової стрілки і позначимо нові базисні вектори через та . Кути, утворені вектором з векторами е₁ і е₂, рівні відповідно φ і

(див. малюнок). Тому координати цього вектора в базисі е₁, е₂ рівні і значить, . Аналогічно, кути вектора з векторами е₁ і е₂ рівні відповідно і φ, тому координати його в базисі

е₁, е₂ рівні і , значить,

e₂

φ φ

e₁

Таким чином, матриця переходу від базису е₁, е₂ до базису , матиме вигляд

Тоді старі координати виражаються через нові так:

звідки

в) Підпростори векторного простору

Підпростором векторного простору V називається сукупність V₁ його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених в V операцій додавання і множення на число.

Для встановлення того, що деяка підмножина V₁ векторного простору V є його підпростором, досить показати, що для довільних двох векторів х та у із V₁ їх сума х+у теж належить V₁, і що для довільного вектора і довільного добуток теж належить V₁. Це твердження випливає із аксіом 1, 2, 5-8 векторного простору.

Приклади.

У звичайному тривимірному векторному просторі підпросторами є всі площини і всі прямі, які проходять через початок координат.

Сам простір V і множина із одного нульового елемента теж є підпросторами простору V (тривіальними).

Перетином двох підпросторів V₁ і V₂ векторного простору V називається множина всеможливих векторів із V, що належить одночасно і V₁, і V₂. Перетин теж є підпростором і позначається

Сумою двох підпросторів V₁ і V₂ називається множина векторів вигляду де Сума теж є підпростором і позначається V₁+V₂.

Теорема. Якщо V₁ і V₂ – підпростори векторного простору V, то

Доведення.

В підпросторі виберемо довільний базис е₁, е₂,…, е_k і доповнимо його до базису V₁ з одного боку:

е₁, е₂,…,е_k, f_k+1,…,f_p (*1)

і до базису V₂ з другого боку:

е₁, е₂,…,е_k, g_k+1,…,g_s (*2).

Покажемо , що вектори е₁, е₂,…,е_k, f_k+1,…, f_p, g_k+1,…,g_s лінійно незалежні.

Припустимо, що ці вектори лінійно залежні:

Тоді вектор

належить одночасно і V₁, і V₂, а, значить, і їх перетину Але тоді він повинен лінійно виражатись через базисні вектори підпростору :

тобто

.

Звідси і з єдиності розкладу вектора а за базисом простору V₁ маємо

Тоді матимемо

звідки, із лінійної незалежності базисних векторів простору V₂ маємо

Отже, вектори е₁, е₂,…,е_k, f_k+1,…, f_p, g_k+1,…,g_s утворюють лінійно незалежну систему. Але тоді вони утворюють базис простору V₁+ V₂, оскільки, якщо вектор то z=x+y, де і, значить, х лінійно виражається через (*1), а у – через (*2). Але тоді вектор z лінійно виражається через вектори

е₁, е₂,…, е_k, f_k+1,…, f_p, g_k+1,…,g_s.

Таким чином, розмірність підпростору V₁+ V₂ дорівнює

k+(p-k)+(s-k)=p+s-k.

Але dimV₁=p, dimV₂=s, Тоді

dimV₁+dimV₂=p+s і

що й треба довести.