![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§5. Неперервність функції
- •5.1. Означення неперервності функції в точці і на відрізку
- •5.2. Класифікація точок розриву функції
- •§6. Властивості неперервних на відрізку функцій
- •6.1. Обмежені функції
- •6.2. Існування найменшого і найбільшого значення
- •Розглянемо нерівність .
- •6.3. Теорема про перетворення функції в нуль
- •§7. Деякі економічні задачі і їх розв’язування
§6. Властивості неперервних на відрізку функцій
6.1. Обмежені функції
Функції, неперервні на відрізку, мають ряд властивостей, яких, взагалі кажучи, не мають функції, неперервні, наприклад, в інтервалі. Ці властивості ми й розглянемо далі.
ТЕОРЕМА
1 (Вейєрштрасса). Неперервна функція на
відрізку обмежена на цьому відрізку,
тобто існують такі два числа
і
,
що
для всіх
.
Доведення.
Доводячи
за допомогою методу міркування від
супротивного, припустимо, що функція
,
неперервна на відрізку
,
не
обмежена на цьому відрізку. Тому для
кожного натурального
знайдеться точка
така,
що
Послідовність
обмежена. За відповідною теоремою
математичного аналізу з цієї послідовності
можна виділити збіжну послідовність
,
(
)
і точка
належить обов’язково відрізку
,
тому
в ній функція
неперервна,
якщо
,
неперервна справа, якщо
і неперервна зліва, якщо
Отже, ми можемо записати такі два
твердження:
і
.
Звідси
з першої нерівності випливає, що
послідовність
необмежена, а з другого твердження
випливає, що вона, будучи збіжною,
обмежена. Суперечність, до якої ми
дійшли, доводить теорему 1.
6.2. Існування найменшого і найбільшого значення
Нехай
функція
визначена на множині
.
Значення
,
називається найменшим (найбіль-
шим)
значенням функції
на
множині
,
якщо для будь-якого
правильна нерівність
Найменше і найбільше значення функції
не завжди існують.
Однак правильна теорема.
ТЕОРЕМА
2 (Вейєршрасса). Якщо функція
неперервна
на відрізку
,
то серед її значень на цьому відрізку
існує найменше і найбільше, тобто
,
і
,
;
,
і
,
.
Доведення.
Оскільки
функція
неперервна на відрізку
,
то
за
теоремою 1 всі її значення обмеженні,
тобто
,
де
і
-
сталі величини. Тоді для такої множини
значень функції існує точна верхня
межа. Нехай
Припустимо, що
,
коли
.
Розглянемо
нову функцію
.
Оскільки
,
то функція
неперервна
на відрізку
,
а
значить за теоремою 1 вона обмежена,
тобто існують числа
і
такі, що
(
.
Розглянемо нерівність .
Звідси
одержуємо, що
Остання
нерівність показує, що число
не може бути точною верхньою межею.
Отже, наше припущення неправильне.
Теорема 2 доведена.
6.3. Теорема про перетворення функції в нуль
Для доведення наступної властивості функцій, неперервних на відрізку, потрібна одна локальна властивість неперервної функції.
ДОПОМІЖНА
ТЕОРЕМА. Якщо функція
неперервна в точці x0
справа
(зліва) і якщо
,
то знайдеться число >0
таке, що для всіх
(
)
зна-
чення
функції
за знаком будуть такими, як
.
Доведення.
Нехай
для означеності f(x0)>0
і
функція
неперервна
в точці
справа. Тоді для числа
існує
число
таке,
що для всіх
буде правильна
нерівність
.
Звідси для маємо
Теорема доведена для розглядуваного випадку. Інші випадки доводяться аналогічно.
Наслідок
1.
Якщо функція
неперервна в точці
і якщо
,
то знайдеться окіл
точки
,
для всіх точок
якого значення функції
за знаком будуть такими ж, як
.
ТЕОРЕМА
3 (Больцано-Коші). Якщо функція
неперервна
на відрізку
і якщо значення цієї функції на кінцях
цього відрізка протилежні за знаком,
то існує принаймні одна точка с(а,b),
значення функції в якій дорівнює нулю,
тобто
.
Доведення.
Нехай
для означеності
,
.
Оскільки функція
в
точці
неперервна справа , а в точці x=b
неперервна зліва, то за допоміжною
теоремою знайдеться число
таке,
що
для всіх
і
для всіх
x(b-δ,b).
Позначимо через
множину
всіх точок xa,b
в
яких f(x)<0.
Ця множина непорожня, оскільки
.
Вона обмежена зверху числом
.
Така множина має точну верхню межу.
Позначимо її через
.
Ясно, що
і, отже,
.
Доведемо
рівність
.
Припустимо,
що
.
Оскільки
,
то
за наслідком 1 допоміжної теореми
знайдеться окіл
)
точки
,
в усіх точках якого значення функції
за знаком будуть такими ж, як
.
Якщо
,
то
для всіх
),
що
суперечить означенню числа
як
верхньої грані множини
всіх
тих точок
,
в
яких
.
Якщо
,
тоді
для всіх
),
що
знову ж таки
суперечить
означенню числа
як
верхньої грані множини
,
бо за властивістю верхньої грані в
проміжку
міститься проміжна одна точка
з множини
,
в якій
.Припущення,
що
,
привело до суперечності. Отже,
і теорему 3 доведено.