Построение матрицы планирования.

План, содержащий запись всех комбинаций факторов или их части в кодированной форме, называется матрицей планирования. Табл. 1, например, является матрицей планирования для двух факторов на двух уровнях.

Для построения матрицы планирования с большим числом факторов можно использовать следующий прием.

Элемен­тарное сочетание первого фактора (+1, —1) повторяется для каж­дого следующего фактора на верхнем и нижнем уровнях. Этот прием распространяется на построение матриц любой размер­ности. Столбец х₀ — это столбец значений фиктивной переменной.

Этот прием построения матриц планирования можно трактовать как прием чередования знаков. Действительно, в первом столбце знаки не меняются, во втором — меняются поочередно, в третьем — они чередуются через два, в четвертом — через 4 и т. д. (по показателям степеней двойки).

Свойства матрицы планирования. Рассмотренные матрицы пла­нирования обладают такими свойствами, которые позволяют счи­тать, что их построение выполнялось оптимально с точки зрения получаемой но результатам реализации матрицы планирования математической модели. Если мы ищем модель в виде уравнения регрессии, то коэффициенты должны быть наилучшими и точность предсказания значений переменной состояния одинакова в любом направлении факторного пространства. Эти требования формули­руются как условия ортогональности и рототабельности.

Таблица 2
№п/п	Тип эксперимента				Факторы
					x0	x1	x2	x3	x4	x5
1	ПФЭ 25	ПФЭ 24	ПФЭ 23	ПФЭ 22	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2					+1	-1	+1	+1	+1	+1
3					+1	+1	-1	+1	+1	+1
4					+1	-1	-1	+1	+1	+1
5					+1	+1	+1	-1	+1	+1
6					+1	-1	+1	-1	+1	+1
7					+1	+1	-1	-1	+1	+1
8					+1	-1	-1	-1	+1	+1
9					+1	+1	+1	+1	-1	+1
10					+1	-1	+1	+1	-1	+1
11					+1	+1	-1	+1	-1	+1
12					+1	-1	-1	+1	-1	+1
13					+1	+1	+1	-1	-1	+1
14					+1	-1	+1	-1	-1	+1
15					+1	+1	-1	-1	-1	+1
16					+1	-1	-1	-1	-1	+1
17					+1	+1	+1	+1	+1	-1
18					+1	-1	+1	+1	+1	-1
19					+1	+1	-1	+1	+1	-1
20					+1	-1	-1	+1	+1	-1
21					+1	+1	+1	-1	+1	-1
22					+1	-1	+1	-1	+1	-1
23					+1	+1	-1	-1	+1	-1
24					+1	-1	-1	-1	+1	-1
25					+1	+1	+1	+1	-1	-1
26					+1	-1	+1	+1	-1	-1
27					+1	+1	-1	+1	-1	-1
28					+1	-1	-1	+1	-1	-1
29					+1	+1	+1	-1	-1	-1
30					+1	-1	+1	-1	-1	-1
31					+1	+1	-1	-1	-1	-1
32					+1	-1	-1	-1	-1	-1

Симметричность относительного центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов в вектор-столбце для каждого фактора равна 0

(4)

Условие нормировки –сумма квадратов элементов каждого столбцаравна числу опытов.

(5)

где n — число факторов; N —- число опытов (или строк матрицы планирования).

Условие ортогональности предполагает равенство нулю суммы почленных произведении любых двух столбцов матрицы:

(6)

Эти условия легко проверить по табл. 2. Действительно, полный факторный эксперимент типа 2" является ортогональным.

Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) имеют так­же еще одно свойство — рототабельность.

Рототабельность - предполагает равенство и минимальность дисперсии предсказанных значений переменной состояния для всех точек факторного пространства.

По закону накопления ошибок можно записать для дисперсии предсказанных уравнением регрессии значений переменной состояния:

(7)

где — дисперсия коэффициентов модели b_i.

Из условия (6) вытекает, что дисперсии коэффициентов регрес­сии равны между собой. Тогда можно записать:

(8)

Учитывая, что где радиус сферы:

(9)

Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выход­ной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство рототабельностн эквивалентно независимости дисперсии выходной переменной от вращения координат в центре плана и оправдано при поиске оптимума градиентными методами..