- •Планирование эксперимента
- •Регрессионный анализ для ортогональных двухуровневых планов
- •Основной эксперимент, планы первого порядка
- •Построение матрицы планирования.
- •Основное преимущество факторного эксперимента
- •Алгоритм расчета полного факторного эксперимента типа 2n
- •1. Построение матрицы планирования
- •2. Расчет коэффициентов уравнения регрессии (линейная форма).
- •3. Расчет ошибки опыта (дисперсии воспроизводимости).
- •4. Принятие решений.
- •5. Проверка значимости коэффициентов регрессии.
- •6. Принятие решений.
- •7. Проверка адекватности линейного уравнения регрессии.
- •8. Принятие решений.
- •Приложение 1 Процентные точки распределения
- •Процентные точки распределения Стьюдента
Основной эксперимент, планы первого порядка
Задача основного эксперимента — получение математической модели исследуемого объекта, которая используется для оптимизации объекта исследования или для целей аппроксимации. Для получения математической модели, используется факторный эксперимент:
Все факторы объекта исследования вирируются по определенному плану.
Рассмотрим пример построения
Матрица планирования эксперимента для двух факторов на двух уровнях
Таблица 1
Опыты |
X0 |
Планирование |
Переменная состояния y |
|
X1 |
X2 |
|||
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
y1 |
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
y2 |
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
y3 |
4 |
+1 |
-1 |
-1 |
y4 |
Предположим, что объектом исследования является реактор, в котором выход продукта у зависит от температуры х1 и давления х2 в реакторе. Дополнительно известно, что изменение температуры от 60 до 80° С и давления от 1 до 1,5 атм изменяет выход продукта. Обозначим максимальные и минимальные значения факторов х1 и х2 символами + 1 и -1. Тогда все возможные комбинации факторов при варьировании на двух уровнях (минимальном и максимальном) будут определены четырьмя опытами. Такой план эксперимента принято записывать в виде матрицы планирования (табл. 22).
Во второй графе таблицы приведены значения фиктивной переменной х0 (тождественно равной -1 +1), которая понадобится при вычислении свободного члена полинома. В первой строке таблицы спланирован первый опыт, когда факторам х1 и х2 придают максимальные значения; во второй строке — когда фактору х1 придают минимальное значение, а фактору — максимальное, и т. д. Оказывается подобное планирование имеет ряд достоинств и поэтому широко применяется для получения моделей. Например, пользуясь планом — табл. 1, можно после проведения эксперимента определить коэффициенты линейного уравнения регрессии
(1)
Сущность факторного эксперимента первого порядка состоит в одновременном варьировании всех факторов при его проведении по определенному плану, представлении математической модели (функции отклика) в виде линейного полинома и исследовании этой зависимости методами математической статистики.
Уровнем фактора называют определенное значение фактора, которое будет фиксироваться при проведении эксперимента. В предыдущем примере уровнями факторов будут 60 и 80° С для фактора «температура», а также 1 и 1,5 атм— для фактора «давление». Уровнем факторов можно назвать и средние значения рассматриваемых интервалов, т. е. 70° С и 1,25 атм.
Рис 1 Геометрическая интерпретация области определения факторов L и области проведения эксперимента М.
Эти значения факторов называются нулевыми уровнями, они определяют некоторую точку факторного пространства, которая в предварительном эксперименте была оценена наилучшей по максимуму (или по минимуму) переменной состояния. Обозначим нулевой уровень i-го фактора, выраженного в натуральных единицах (в данном примере в °С и атм), через .
Интервал варьирования. Это такое значение фактора в натуральных единицах, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора. Обозначим его
Границы существования факторов - это экстремальные значения, которые могут принимать факторы, не меняя своих физико-химических свойств и не искажая сути исследуемого процесса, Область определения факторов (область L на рис. 1)- это интервал (Xmin Xmax).
Интервал варьирования факторов должен составлять часть области определения факторов, если решается задача оптимизации. Это необходимо для того, чтобы осуществить движение к оптимуму в области- определения факторов. На рис. 1 область проведения эксперимента обозначена буквой М. В задачах же аппроксимации (или интерполяции) интервал варьирования охватывает всю описываемую область, т. е. для двухфакторной задачи верхними уровнями факторов Х1 и Х2 являются , , а нижними уровнями — и Тогда область L можно назвать интерполяционной, область М — областью постановки экстремального эксперимента.
Из определений следует, что областей М может быть несколько (в общем случае конечное множество). Можно также предположить несколько областей оптимума. Область определения факторов для данной задачи исследования одна. Обозначение верхних и нижних уровней факторов символами «+1», «—1» фактически соответствует кодированию факторов по формуле
. (2)
Для рассмотренного примера (табл. 22) кодированные значения факторов (верхние и нижние уровни) следующие:
Рис.2. Геометрическая интерпретация плана 22 на плоскости а) – в натуральных координатах, б) в кодированной форме.
Рис. 3. Геометрическая интерпретация плана 32
Кодирование факторов, по сути, означает переход от системы координат в натуральных единицах (рис. 2, а) к системе координат в кодированной форме (рис. 2, б). Каждая точка факторного пространства — (+1, +1), (—1, +1), (+1, —1), (—1, —1) — это опыт в исследованиях.
В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если каждый фактор варьируется на двух уровнях, то получается ПФЭ тина 2n. Для двух факторов (n = 2) число опытов N = 22 =4, что видно из табл. 1 и рис. 2.
Можно осуществлять планирование эксперимента на трех уровнях (верхний, средний, нижний), тогда ПФЭ будет типа 3n и для n = 2 общее число опытов будет N = 32 = 9 см. рис. 3.
Этот этап выделяют как этап принятия решений перед составлением плана эксперимента. Построение плана эксперимента начинают с выбора определяющих его характеристик. Обычно первой рассматривают область определения факторов. Область определения факторов фиксируется в предварительном эксперименте. Для этого используются результаты опытов и теоретические представления о процессе.
Далее из области определения факторов выбором нулевых уровней и интервалов варьирования факторов выделяется часть области для планирования эксперимента (область М, рис. 1). Правильный выбор нулевых уровней (центра эксперимента) и интервалов варьирования факторов имеет решающее значение для действенности математической модели.
Идеальным случаем при выборе нулевых уровней факторов является «попадание» центра эксперимента в область оптимальных значений переменной состояния. Но это возможно лишь при очень высоком уровне априорной информации.
Если имеется некоторый опыт управления объектом исследования, можно принять в качестве нулевых уровней те величины факторов, которые дали наилучшее значение переменной состояния.
Но это может привести к получению лишь локального оптимума при нескольких экстремумах функции отклика,
Основное требование к интервалу варьирования состоит в том, чтобы он превышал удвоенную квадратическую ошибку фактора:
(3)
где — среднеквадратическое отклонение фактора ; — интервал варьирования; — область определения фактора.
Это требование связано с тем, что интервал между двумя соседними уровнями должен значимо (неслучайно) влиять на переменную состояния. Обычно интервал варьирования выбирается на основании априорной информации (или интуитивно) и затем уточняется (если он выбран неудачно) после получения математической модели. Повторение эксперимента, резко увеличивает число опытов. Удачный выбор интервала варьирования факторов гарантирует получение достоверной математической модели объекта.
Определенные сведения о нулевых уровнях и интервалах варьирования получаются на этапе предварительного эксперимента.
Пример 1.
Рассмотрим процесс ионообменного разделения смесей группы редкоземельных элементов растворами иминодиуксусной кислоты. Переменная состояния—содержание (в %) неодима в выходном растворе.
Предварительный эксперимент выделил два фактора — концентрацию (в вес. %) входного раствора Х1 и рН раствора Х2. Область определения фактора X1 находилась из следующих услови.
Известно, что при X1 > 3 работать нельзя, так как это предел растворимости данного вещества при нормальной температуре. Таким образом, . При выборе нижней границы области определения фактора учитывалось то, что чем ниже концентрация, тем дольше идет процесс. При время протекания процесса находится еще в допустимых пределах; дальнейшее снижение его уже нецелесообразно.
При выборе области определения Х2 исходили из теоретического положения, что ионообменное разделение происходит благодаря одновременному присутствию в системе двух соединений: моно- и ди-комплексов. Предварительный эксперимент показал, что при рН < 3 кислота находится в недиссоциированном состоянии, а при рН > 8 оба соединения разрушаются. Следовательно, , .
В качестве нулевых уровней были приняты значения X10 = 1,5, Х20 = 7. В точке факторного пространства с такими координатами был получен наилучший результат предварительного эксперимента. Важно также то, что она лежит внутри области определения факторов.
Результаты предварительных опытов, явилось следующее:
точность фиксирования факторов средняя (по результатам ряда опытов);
поверхность отклика линейная (по однофакторным экспериментам);
диапазон изменения переменной состояния небольшой.
Рослее предварительного эксперимента пришлось выбрать широкий (до 20% от области определения) интервал варьирования, чтобы его изменение было заметно по изменению переменной состояния: ,