Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля

Наиболее целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля. Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называется средней линией сечения (рис.19.14).

Наибольшее касательное напряжение в поперечном сечении стержня определяется по формуле

где А_ср – площадь сплошного сечения, ограниченного средней линией сечения; t_min – минимальная толщина стенки в сечении; Т – внутренний крутящий момент в сечении.

Формула

позволяет вычислить угол закручивания стержня длиной l. Интегрирование производится по длине s контура сечения.

Если тонкостенный стержень имеет постоянную толщину стенки t, тогда формула принимает вид

где S – длина контура сечения, отсчитываемая вдоль средней линии сечения.

Пример 1.

Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания стержня с трубчатым прямоугольным поперечным сечением, если внешний крутящий момент М = 2 кНм, длина стержня l = 1 м (рис.19.15, а), а модуль сдвига материала стержня G = 8 МПа.

Решение.

По рис. 19.15, б находим А_ср = 4 = 24 см², t_min = 1 см. Формула дает

Угол закручивания в сечении, где приложен внешний крутящий момент М, определяем по формуле :

Пример 2.

Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания трубчатого сечения (рис. 19.16), если внешний крутящий момент М = 2 кНм действует на участке длиной l = 1 м, а модуль сдвига материала трубчатого стержня G = 8 МПа.

Решение.

По рис. 19.14 находим t_min = 0,5 см, А_ср = 6 = 21 см², тогда формула дает

Максимальное касательное напряжение будет в середине длинной стороны (точка С) поперечного сечения, имеющей минимальную толщину t_min = 0,5 см.

По формуле определяем угол закручивания сечения на длине стержня в 1 м:

Пример 3.

Определить наибольшее касательное напряжение и угол закручивания участка стержня кольцевого трубчатого сечения, показанного на рис.19.17, если внутренний крутящий момент Т = 0,2 кНм действует на участке стержня длиной l = 1 м, модуль сдвига материала стержня G = 8 МПа, а d = 2 см, D =3 см.

Задачу решить двумя способами:

1) поперечное сечение рассматривать как тонкостенный замкнутый профиль и определить максимальное касательное напряжение и угол закручивания в пределах участка длиной 1 м;

2) поперечное сечение рассматривать как кольцевое поперечное сечение и определить угол закручивания и касательное напряжение в точке С сечения, используя формулы и .

Ответ: = 0,041 рад; = 40,76 МПа;

= 0,039 рад; = 39,2 МПа

Пример 4.

Пусть задан тонкостенный стержень (рис. 19.18, а) при действии самоуравновешивающих крутящих моментов на двух противопо­ложных концах.

Требуется:

1. Определить выражения максимальных напряжений и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый (рис. 19.18, б) и замкнутый (рис. 19.18, в) профиль;

2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов за­кручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня.

Рис. 19.18

Решение.

1. Определение выражения максимальных напряже­ний и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый и замкнутый профиль. Для стержня с открытым профилем (рис.19.18, б), согласно (19.26), получим:

; .

Для стержня замкнутого профиля (рис.19.18, в), имеем:

; .

2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов за­кручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня. Для наглядности составим отношения выражений напряжений и углов закручивания, т.е.:

; .

Откуда следует, что отношение напряжений имеет величину порядка , а отношение углов закручивания - порядка . Так как для тонкостенных стержней , следовательно, стер­жень с замкнутым профилем является существенно более прочным и жестким, нежели стержень с открытым профилем при идентич­ных исходных данных.

Заметим, что этот вывод является общим для тонкостенных стержней независимо от формы сечений.