Общий случай нагружения тонкостенного стержня. Бимомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тон­костенного бруса можно представить в виде следующего выраже­ния:

, (19.8)

где , и характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y; - удельный угол закручивания относительно продоль­ной оси z, - эпюра главной секториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

. (19.9)

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений , при­мут вид:

(19.10)

Здесь через обозначена новая силовая характеристика, назы­ваемая бимоментом, размерность которой будет кНм².

В результате совместного рассмотрения (19.9) и (19.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

. (19.11)

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормаль­ных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изме­нения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фак­тором и по методу сечений не может быть определен. Следова­тельно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопре­делимой. Например, если на­грузить стержень двутаврово­го сечения четырьмя равны­ми силами Р (рис.19.5), бимо­мент в торцевом сечении бу­дет равен:

, (19.12)

где - значение секториаль­ной площади для точки при­ложения силы P_i, т.е.:

.

Рис. 19.5

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ющие моменты M_x , M_y равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

. (19.13)

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Q_x, Q_y- поперечные силы, от касательных напряжений , ; M_x, M_y -изгибающие моменты, от нормальных напряжений ; M_z - кру­тящий момент свободного кручения от касательных напряжений ; - бимомент от действующих нормальных напряжений , вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; - изгиб­но- крутящий момент от дополнительных касательных напря­жений .

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 19.6, где приняты следующие обозначения: u, v - перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y; - соответственно, статические моменты относитель­но координатных осей и секториально статический момент отсе­ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчет­ной точки.

Все эти величины легко определяются, если известна функция . Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

. (19.14)

Подставляя в (19.14) значения и из табл. 19.1, получим:

. (19.15)

Дифференцируя (15.15) по z, имеем:

, (19.16)

или

, (19.17)

где - изгибно-крутиль­ная характеристика поперечного сечения стержня; -распре­деленный крутящий момент.

Таблица 19.6

Силовой фактор	Усилие	Напряжение
Поперечная сила Qx, Qy	,	,
Изгибающий момент Mx, My	,	,
Крутящий момент при свободном кручении тонкостенного стержня постоянной толщины стенки , Mz
Крутящий момент при стеснен­ном кручении тонкостенного стер­жня постоянной толщины стенки ,
Бимомент

Рис. 19.6

Рассмотрим случай кручения, когда на свободном конце тон­костенного стержня, защемленного с другим концом, действует крутящий момент (рис.19.6). В этом случае имеем:

, (19.18)

интеграл которого записывается:

. (19.19)

Откуда имеем:

(19.20)

Для определения C₁, C₂, C₃ и C₄ с учетом граничных условий:

при z = 0, и ;

при z = l, и , (19.21)

получим:

(19.22)

Учитывая выражения произвольных постоянных (19.22) из (19.19) и (19.20), будем иметь:

(19.23)

Здесь shx и chx - гиперболический синус и гиперболический косинус, соответственно, аргумента x:

. (19.24)

В заключении, учитывая (19.23) и выражения усилий из таблицы 19.1, окончательно получим:

(19.25)

Заметим, что существует полная аналогия в основных зависи­мостях теории стесненного кручения стержней открытого и замк­нутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого профиля, уже известных нам секториальных координат и сектори­альных геометрических характеристик сечений , и т.д., на обобщенные величины , и т.д., для замкнутого профиля.

При этом, главная обобщенная секториальная координата , для замкнутого профиля (рис.19.7), определяется:

где - сектори­альная координата, вычисляемая по аналогии теории стержня от­крытого профиля; r - длина пер­пендикуляра, опущенного из по­люса А, взятого внутри контура, на касательную к контуру; - параметр, условно на­зываемый «средним радиусом» замкнутого контура; - удвоенная площадь, охваченная срединной линией контура s; -приведенная длина дуги данной точки контура.

Рис. 19.7

Главный обобщенный секториальный момент сечения и секториальный статический момент для замкнутого контура определяются по формулам:

,

где .

Расчет тонкостенного стержня открытого профиля

Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного на рис.19.8, а, при следующих исходных данных: H = 12,5 м; B = 19 м; l = 2 м; = 1 м; P = 1 кН; E = 2 МПа; G = 8 МПа, требуется:

1. Определить площадь, положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

2. Найти положение центра изгиба;

3. Определить момент инерции при чистом кручении I_кр и секториальные характеристики сечения;

4. Вычислить изгибно-крутильную характеристику ;

5. Построить эпюры поперечной силы Q_x, изгибающего момен­та M_y, момента чистого кручения M_z, изгибно-крутящего момента , бимомента ;

6. Построить эпюры нормальных напряжений , и их сум­марную эпюру.

Решение:

1. Определение площади, положения центра тяжести и главных центральных моментов инерции

Вычислим расчетные размеры сечения стержня (рис.19.8, б, в), приняв в дальнейших расчетах:

; м;

м.

Рис. 19.8

Тогда

м².

В выбранной системе координат x₁y₁, определим положение центра тяжести сечения: y_c = 0;

Для этого построим эпюру координат x₁ (рис.19.9, а) и вычис­лим статический момент сечения относительно оси y₁:

м³.

Тогда координата центра тяжести сечения будет равна:

м.

Для вычисления главных центральных моментов инерции пред­варительно построим эпюру координат x и y (рис.19.9, б, в). С при­менением этих эпюр, определяются:

м⁴;

м⁴.

2. Определение положения центра изгиба

Вначале построим эпюру секториальных координат площади , в характерных точках (1, 2, 3, 4) профиля, выбрав произволь­ный полюс в точке B (рис.19.9, г):

м²;

;

м².

Рис. 19.9

Координаты центра изгиба вычисляем по формулам (19.5).

Используя эпюры и y и применяя правило Верещагина, вычисляем секториально линейный статический момент:

м⁵.

Тогда координата центра изгиба по вертикальной оси прини­мает значение:

м.

Координата центра изгиба по горизонтальной оси вычисляется

Так как эпюра x симметрична, а эпюра обратно симметрич­на относительно x, то по правилу Верещагина секториально-ли­нейный статический момент равен нулю, т.е.:

.

Cледовательно, y_А = 0 и поэтому центр изгиба лежит на оси x.

Вычислим постоянную D, предварительно построив эпюру сек­ториальных площадей (рис.19.9, д).

При этом полюс расположим в центре изгиба (т. А). За начало отсчета возьмем точку 3 (произвольно):

м²;

м²;

м².

Постоянную D вычисляется по формуле (19.6):

Далее вычисляем секториально статический момент , как произведение площади эпюры на d :

м⁴ .

В этом случае величина постоянной D будет равна:

м² .

Далее, используя зависимость (19.7), вычисляем секториальные координаты характерных точек профиля:

м² ;

м² ;

м² ;

м² .

По полученным координатам строим эпюру (рис.19.9, е).

3. Определить момент инерции при чистом кручении и секториальные характеристики сечения

Для корытообразного профиля поперечного сечения бруса (рис. 19.8, б), имеем:

м⁴ .

Cекториальный момент инерции I_w вычисляем по эпюре (рис.19.9, е):

» м⁶ .

4. Определение изгибно- крутильной характеристики

Изгибно-крутильную характеристику вычисляем по формуле:

м^-1 .

5. Построение эпюр поперечной силы Q_x, изгибающего момента M_y , момента чистого кручения M_z, изгибно-крутящего момента М_w и бимомента В_w

В рассматриваемом примере:

м; кН = 95 Н;

; ch = 6,7690; × ch = 1,3×6,7690 = 8,7997 м^-1.

Тогда, согласно (19.25), получим:

Предварительно разбив тонкостенный брус по длине на 5 рав­ных частей, для этих сечений численные значения величин Q_x , M_y , M_z , и приведены в таблице 19.7.

По результатам табл. 19.7 строим эпюры Q_x , M_y , M_z , и (рис.19.10). При этом в случае действия на брус сосредоточенной силы, во всех сечениях выполняется следующее условие: .

Таблица 19.7

z, м		sh	ch	Qx, Н	My, Нм	Mz, Нм	, Нм	, Нм2
0,00	0,00	0,0000	1,0000	1000	0	80,97	14,03	0
0,40	0,52	0,5438	1,1383	1000	400	79,03	15,97	5,87
0,80	1,04	1,2379	1,5913	1000	500	72,67	22,33	13,37
1,20	1,56	2,2743	2,4845	1000	1200	60,14	34,86	24,50
1,60	2,08	3,9398	4,0647	1000	1600	37,96	57,04	42,56
2,00	2,60	6,6947	6,7690	1000	2000	0,00	95,01	72,32