Тема - Матричные операции, подбор параметра, статистический анализ, имитационное моделирование в ms Excel Теоретические сведения

В MS Excel функция «Подбор параметра» используется для решения уравнений с одним неизвестным. Для ее запуска необходимо использовать команду меню Данные – Анализ «Что-Если» - Подбор параметра. При этом будут задействованы две ячейки. Одна из ячеек - влияющая, которая будет являться аргументом (неизвестной величиной, параметром в уравнении). Вторая ячейка – зависимая, которая содержит формулу вычисления правой части уравнения (правая часть уравнения должна быть числом).

Функция подбора меняет значение влияющей ячейки так, чтобы получить в целевой ячейке заданную величину. После запуска функции необходимо в поле «Установить в ячейке» указать адрес ячейки, содержащей формулу. В поле «Значение» указывается значение правой части уравнения. В поле «Изменяя значение ячейки» нужно установить адрес влияющей ячейки.

Матричные операции и решение систем линейных уравнений. Для решения экономических и математических задач часто используются функции работы с матрицами и массивами данных. К функциям, позволяющим производить операции с матрицами и массивами данных, в MS Excel относятся функции МУМНОЖ, МОПРЕД, МОБР, СУММРОИЗВ. Рассмотрим указанные функции подробнее.

Массивы используются для выполнения операций матричной алгебры, задач теории игр, оптимизационных задач. Для осуществления матричных операций предусмотрен набор соответствующих функций (в разделе математических). Матрицы, используемые в качестве аргументов, хранятся в массивах.

К операциям, производимым с матрицами, относятся: сумма, разность матриц, умножение матриц, нахождение обратной матрицы, нахождение определителя, транспонирование.

Суммирование и нахождение разности матриц производится также как и суммирование чисел, при этом используются те же арифметические операторы, однако есть некоторые отличия. При суммировании матриц необходимо заранее выделить область (массив), в который будет помещен результат операции. Результатом также будет являть матрица, и для ее получения нужно после ввода формулы нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Следует отметить, что суммировать можно матрицы одинакового размера.

Произведение матриц находится с помощью функции =МУМНОЖ(массив1;массив2). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2. Массив1 и массив2 могут быть заданы как интервалы, массивы констант или ссылки.

Заметим, что если перемножать массивы с помощью оператора умножения, то результатом является не произведение матриц, а просто произведение каждого элемента первого массива на соответствующий элемент второго массива.

Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива, то есть перед вводом формулы необходимо выделить диапазон, в который будет помещен массив, а затем нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. При этом в формуле появятся фигурные скобки, и произойдет вывод результирующего массива.

Нахождение обратной матрицы, используемое для решения СЛУ матричным способом, производится с помощью функции =МОБР(массив).

Массив должен быть квадратной матрицей и может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3; как массив констант, например {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9}; или как имя диапазона или массива. Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива. Произведение матрицы на ее обратную — это единичная матрица, то есть квадратный массив, у которого диагональные элементы равны 1, а все остальные элементы равны 0. Квадратные матрицы, определитель которых равен нулю, не могут быть обращены, в таких случаях функция МОБР возвращает значение ошибки. Функция МОПРЕД(массив) возвращает определитель матрицы, требования к которой такие же как и у функции МОБР. Определитель матрицы — это число, вычисляемое на основе значений элементов матрицы.

Системы линейных уравнений могут быть решены матричным способом и методом Крамера. Для решения СЛУ матричным способом обратная матрица коэффициентов при неизвестных умножается на матрицу-вектор свободных членов. Получается вектор результатов.

Для решения СЛУ методом Крамера рассчитываются главный и вспомогательные определители. Главный определитель системы рассчитывается как определитель матрицы коэффициентов. Вспомогательные определители рассчитываются как определители матриц, которые составлены из матрицы коэффициентов, но один из столбцов заменен на столбец свободных членов. Матрица решений системы формируется при делении каждого из вспомогательных определителей на главный определитель системы. Система не имеет решения, если он равен нулю.

Функция СУММРОИЗВ (массив1;массив2;массив3; ...) перемножает соответствующие элементы заданных массивов и возвращает сумму произведений. Аргументы, которые являются массивами, должны иметь одинаковые размерности. Если это не так, то функция СУММПРОИЗВ возвращает значение ошибки. Эта функция часто применяется при решении задач оптимизации и для вычисления взвешенных средних. В задачах оптимизации перемножаются обычно элементы матрицы расценок и соответствующие элементы матрицы количества (или иные в зависимости от условия задачи), затем произведения суммируются, чтобы получить общее значение (например, общую стоимость или иное в зависимости от условия задачи).

Статистический анализ данных. Любые экономические данные представляют собой количественные характеристики экономических объектов. Многие из этих данных носят случайный характер. Для принятия решений на основе такой информации используются методы статистической обработки данных и прогнозирования. Множество расчетов удобно проводить с использованием электронных таблиц. Для прогнозирования экономических показателей производится подбор и обоснование математической модели. Составляется уравнение развития экономического явления и оцениваются его параметры. Обычно такая задача решается в несколько этапов. Сначала опытным путем выявляется зависимость, и она задается в таблице (обычно это дано в условии задачи). Далее выполняется аппроксимация (сглаживание) и подбирается функция (линия тренда), отражающая тенденцию развития. Аппроксимацию можно произвести с помощью некоторых встроенных функций MS Excel, а также путем построения графика и линии тренда. Обычно выбирается тренд, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений изучаемого показателя от теоретических (рассчитанных по уравнению тренда). Оценка коэффициентов корреляции и детерминации, которая может быть выполнена с помощью встроенных статистических функций, также дает возможность говорить о приемлемости тренда для прогнозирования. Чем выше данные коэффициенты, тем лучше выбранный тренд описывает исследуемое явление.

MS Excel обладает встроенными функциями, позволяющими автоматизировать проведение статистических исследований без использования статистических формул. Для построения линейной модели при наличии двух массивов данных признаков используется функция =ЛИНЕЙН(). В качестве аргументов функции вводятся диапазоны данных, содержащие значения признака результата и признака фактора. Функции возвращает массив (строку), содержащий параметры уравнения тенденции. Другим способом определения уравнения является построение диаграммы в виде графика зависимости признака-результата от признака-фактора. Затем строится линия тренда путем выбора соответствующего пункта в контекстном меню. В появившемся окне выбирается подходящий тип линии тренда, а во вкладке «Параметры» - показывать уравнение на диаграмме.

По полученному уравнению можно прогнозировать развитие изучаемого явления. Это можно осуществлять путем простой подстановки прогнозного значения факторного признака в уравнение. Можно использовать функции =ПРЕДСКАЗ(), =ТЕНДЕНЦИЯ(). При этом предварительного вычисления параметров тренда не требуется, однако эти функции работают только для линейного тренда. Можно использовать функцию ТЕНДЕНЦИЯ для аппроксимации полиномиальной кривой, проводя регрессионный анализ для той же переменной, возведенной в различные степени. Например, пусть столбец A содержит значения y, а столбец B содержит значения x. Можно ввести x^2 в столбец C, x^3 в столбец D, и так далее, а затем провести регрессионный анализ столбцов от B до D со столбцом A.

Тесноту связи между двумя массивами данных характеризует коэффициент корреляции, рассчитываемый с помощью функции =КОРРЕЛ(). Функция возвращает значение от 0 до 1, причем чем ближе к 1 значение тем сильнее связь между признаками.

Решение задач имитационного моделирования. При решении экономических задач в некоторых случаях не хватает имеющейся информации для построения модели. Некоторые числовые данные являются по своей природе случайными, и этот факт нужно учитывать при моделировании.

В Excel предусмотрена функция генерирования случайных чисел, которая имеет вид =СЛЧИСЛ(). Функция не имеет аргументов и возвращает число в диапазоне от нуля до единицы. Ее можно использовать при экономико-математическом моделировании полностью случайных процессов или процессов с выраженной тенденцией для выражения случайной компоненты. Функция =СЛУЧМЕЖДУ() возвращает случайное число, лежащее в диапазоне между двумя значениями. Она также может использоваться при имитационном моделировании, в том случае если известны числовые пределы развития случайного процесса. Даная функция возвращает только целые числа.

Задания для практической работы

Задание 1. Работа с матрицами

Создать лист «Матричные операции» и решить предложенные задачи. Установить для вводимых матриц границы и заливку ячеек, сделать необходимые подписи.

1. Даны две матрицы

Матрица А

1	2	3	4
2	3	4	5

Матрица В

5	5
4	4
4	5
1	6

Рассчитать произведение матриц АхВ и ВхА. Найти определители полученных матриц-произведений. Рассчитать обратные матрицы, если это возможно. Показать равенство произведения обратной и исходной матрицы единичной матрице.

2. Даны матрицы

1	5
4	4

4	4	7
5	3	8
7	2	1

3	4	7	8
-3	0	-7	2
9	1	6	5
8	3	1	12

1	7	8	-1	-9
-3	12	4	13	5
2	11	0	-1	-7
1	3	-5	12	9
12	3	4	3	-9

Рассчитать определители этих матриц и обратные матрицы. В последней матрице подобрать такое значение центрального элемента, чтобы определитель равнялся 615.