Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Одним из основных в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина - это величина, принимающая те или иные значения в зависимости от случая. Примерами случайных величин могут быть: число выпавших очков, при подбрасывании игральной кости; число попаданий в цель при k выстрелах и т.д.  Множества всех случайных величин в зависимости от типа их распределения делится на три класса: дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины исингулярные случайные величины.

Дискретные случайные величины

     Определение1: Случайная величина  называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде:

    

где 

Следующее утверждение отражает связь между функцией распределения дискретной случайной величины и законом распределения случайной величины.

     Утверждение 1: Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины взаимно однозначно определяют друг друга.

 

Примеры дискретных случайных величин:

1) дискретная случайная величина Бернулли(закон распределения Бернулли). Закон распределения дискретной случайной величины Бернулли имеет следующий вид: 0<p<1

Такому распределению соответствует бросание монеты, на одной стороне которой - 0, а на второй - 1.

 

2) Дискретная биномиальная случайная величина(биномиальное распределение). Закон распределения данной дискретной случайной величины запишется следующим образом:

где 

Число успехов в n испытаниях схемы Бернулли имеет биномиальное распределение.

 

3) Дискретная случайная величина Пуассона(пуассоновское распределение с параметром ). Закон распределения дискретной случайной величины Пуассона задается следующим образом:

где   - параметр.

     Закон распределения случайной величины Пуассона носит название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит "редкое" событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию, число распавшихся нестабильных частиц и т.д.

 

4) Дискретная геометрическая случайная величина (геометрическое распределение). Закон распределения геометрической дискретной случайной величины имеет вид

Пусть производятся независимые испытания, причем в каждом испытании возможны два исхода - "успех" с вероятностью p или "неуспех" с вероятностью 1 - p  ,  0 < p < 1 . Обозначим через  число испытаний до первого появления "успеха", тогда  будет дискретной геометрической случайной величиной.

Непрерывные случайные величины

 

     Определение 2: Распределение случайной величины  называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого

,

где   - интегрируемая по Лебегу функция. Функция   называется плотностью распределения случайной величины  .

     Теорема 1: Для того чтобы случайная величина   была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого

          (1)

     Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.

   

    Свойства плотности распределения:

1)

2)  почти всюду.

3)  для любых х, являющихся точками непрерывности плотности.

 

     Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины  , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.