Уравнение я. Бернулли
Дифференциальное уравнение
(4.7)
где
,
а также любое уравнение, с помощью
алгебраических преобразований
приводящееся к уравнению (4.7), называется
уравнением
Бернулли.
При
ДУ (4.7) – линейное, а при
– с разделяющимися переменными. В общем
случае оно сводится к линейному с помощью
подстановки
.
Действительно,
если
,
тогда
.
Разделим уравнение (4.7) на
,
получим:
.
После применения подстановки уравнение примет вид:
или
после умножения обеих частей полученного
уравнения на
:
.
(4.8)
Уравнение
(4.8) является линейным относительно
.
Решив его одним из описанных выше
методов, найдем
,
а затем и
.
Уравнение Бернулли можно решать методом Бернулли в виде
,
т.е. не сводя его к линейному ДУ.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти общий интеграл линейного неоднородного ДУ
.
Решение.
Решим
уравнение методом Бернулли, т.е. будем
искать решение ДУ в виде
.
Здесь
.
Сделаем подстановку Бернулли:
,
.
Решим
уравнение
,
найдем его частное решение.
Разделяем
переменные
.
Полагая
,
выбираем частное решение
.
Далее находим общее решение уравнения
,
где
.
Имеем:
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Пример 2. Решить задачу Коши для ДУ
,
.
Решение. Запишем уравнение в виде:
.
Полученное уравнение есть уравнение вида (4.6). Сведем его к уравнению (4.6*), считая и :
–
линейное относительно .
Используем метод Лагранжа. Решим линейное однородное ДУ:
.
Заменяем
произвольную постоянную
функцией
,
решение ищем в виде:
.
Находим
производную:
.
Подставляем
и
в исходное уравнение, получаем:
.
Находим :
.
Решим
интеграл
.
Последний интеграл решается методом интегрирования по частям, получаем:
.
Таким образом, общим решением данного уравнения является
.
Найдем
частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
.
Подставляем в полученное общее решение
,
имеем:
.
Искомое частное решение имеет вид:
.
Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
.
Поделим
обе части уравнения на
(
),
получим:
–
это
уравнение Бернулли (
).
Поделим на
и сделаем замену
,
получаем:
.
Общее решение последнего линейного ДУ имеет вид (по формуле 4.5):
,
т.е.
.
Сделаем
обратную замену, получим
– общее решение исходного ДУ.
Пример 4. Решить задачу коши для ДУ
,
Решение. Заменим , получаем:
.
Обе
части полученного уравнения поделим
на
:
–
это есть уравнение Бернулли относительно переменной .
Решим
его методом Бернулли, т.е. с помощью
подстановки
,
.
Получаем:
.
Решим
(найдем частное решение) уравнение
(найдем
частное решение). Разделяем переменные,
а затем интегрируем:
.
Найдем
общее
решение уравнения, где
:
.
Следовательно, общее решение исходного ДУ примет вид:
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
.
Получаем частное решение:
.
Задания для самостоятельной работы
n9.10. Решить линейные неоднородные ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.11. Решить линейные неоднородные ДУ, относительно переменной х:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з) |
;
;
;
;
;
;
;
.n9.12. Решить уравнения Я. Бернулли:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.13. Решить задачу Коши для указанных ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.Ответы
9.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Краткие теоретические сведения
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида:
(5.1)
называется
уравнением
в полных дифференциалах,
если его левая часть есть полный
дифференциал некоторой функции
,
т.е.
.
В
этом случае ДУ (5.1) можно записать в виде
,
а его общий интеграл будет
. (5.2)
Искомая функция должна удовлетворять требованиям
и
. (5.3)
Теорема.
Для того чтобы левая часть уравнения
(5.1), где функции и
и их частные производные
и
непрерывны в области
,
было полным дифференциалом, необходимо
и достаточно выполнение условия:
. (5.4)
Таким образом, при решении ДУ вида (5.1) сначала проверяют выполнение условия (5.4). Затем, используя равенства (5.3), находят функцию . Решение записывают в виде (5.2).
Также общий интеграл уравнения (5.1) можно найти с помощью одной из следующих формул:
,
(5.5)
,
(5.6)
где
.