Примеры решения типовых задач
Пример
1. Является
ли функция
,
где С
– произвольная постоянная, решением
ДУ
?
Решение.
Подставив в данное уравнение саму
функцию и ее производную
,
после преобразования полученного
выражения, получим тождество:
.
Следовательно, данная функция является решением уравнения.
Пример
2. 
Доказать,
что функция
,
заданная в неявном виде,
является
интегралом ДУ
.
Решение.
Действительно, согласно правилу
дифференцирования неявной функции
,
имеем:
.
Подставляя полученное выражение в
данное ДУ, получаем равенство:
.
Пример 3. Составить дифференциальные уравнения семейства линий:
.
(*)
Решение. Для того, чтобы составить ДУ для данного семейства, заданного уравнением в неявном виде, находим производную:
.
Исключаем
теперь произвольную постоянную С
из уравнения (*), для этого выразим с
из последнего равенства и подставим в
уравнение (*):
.
Окончательно получим:
.
Это и есть искомое дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.
Пример
4. Составить
дифференциальное уравнение семейства
кривых, зависящего от двух параметров
и
:
.
(**)
Решение. Так как в данном уравнении две произвольных постоянных и , то для их нахождения надо иметь два уравнения. Для этого продифференцируем уравнение (**) два раза:
Решая полученную систему относительно и , получим:
.
Подставив найденные значения и в уравнение (**), получим после преобразований:
.
Это и есть искомое дифференциальное уравнение двупараметрического семейства кривых (**).
Пример
5. С помощью
изоклин начертить вид интегральных
кривых уравнения
.
Р
ешение.
Уравнение изоклин этого ДУ будет
,
т.е. изоклинами здесь будут прямые,
параллельные оси
.
В точках прямых
проведем отрезки, образующие с осью
один и тот же угол
,
тангенс которого равен С.
Так,
при
имеем
,
,
поэтому
;
при
уравнение изоклины
,
поэтому
и
;
при
;
при
и т.д.
Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси под определенным углом (рис. 2), по их направлениям строим линии. Они представляют собой семейство парабол.
Задания для самостоятельной работы
n9.1. Проверить, являются ли указанные функции решениями уравнений:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
;n9.2. Проверить, являются ли функции, заданные неявно, интегралами уравнений:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.3. Составить дифференциальные уравнения семейств линий:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.4. Составить дифференциальное уравнение семейств кривых, зависящих от двух параметров и :
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.Ответы