9. Дифференциальные уравнения

9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Краткие теоретические сведения

При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти , если

,

или . Решение, как известно, дается формулой:

и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла.

Однако на практике значительно чаще встречается более сложная задача: найти функцию , если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида:

(1.1)

Определение. Cотношения, связывающие независимую переменную , неизвестную функцию и ее производные до некоторого порядка n включительно, называются дифференциальными уравнениями (ДУ).

Если уравнение (1.1.) удается разрешить относительно наивысшей производной, то получаем уравнение в нормальной форме:

(1.2)

В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Определение. Решением ДУ (1.1) или (1.2) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество (при этом производные функции предполагаются существующими). Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием, а график решения ДУ на плоскости Oxy – интегральной кривой.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном же случае – ДУ в частных производных.

Если при решении ДУ получаем функцию в неявном виде , то она называется интегралом данного ДУ.

Вопрос о существовании и единственности решения ДУ (1.2) разрешает теорема (Коши).

Теорема (Коши). Если правая часть уравнения (1.2) является непрерывной функцией в окрестности значений

(1.3)

то уравнение (1.2) имеет решение в некотором интервале , содержащем , такое, что:

. (1.4.)

Если же в указанной окрестности непрерывны еще и частные производные этой функции по аргументам , то решение – единственное.

Числа из совокупности (1.3) называются начальными данными, а равенства (1.4) – начальными условиями.

Задача Коши для ДУ n-го порядка формулируется следующим образом: найти решение ДУ (1.1) или (1.2), удовлетворяющее начальным данным (1.3), т.е. такое решение, чтобы выполнялись начальные условия (1.4).

Любое ДУ (1.1) или (1.2) имеет бесчисленное множество решений, для этого множества решений вводится понятие общего решения.

Определение. Общим решением ДУ (1.1) или (1.2) называется функция вида или где – произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям:

1. данная функция является решением ДУ (1.1) или (1.2) при любых значениях ;

2. для любых начальных данных (1.3), при которых ДУ имеет решения, можно указать значения постоянных такие, что

.

Решение или интеграл, полученные из общего решения или общего интеграла при фиксированных значениях произвольных постоянных , называется соответственно частным решением или частным интегралом дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде:

. (1.5)

Уравнение связывает независимую переменную , искомую функцию и ее производную . Если уравнение (1.5.) можно разрешить относительно , то его записывают в виде:

(1.6)

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.

Иногда ДУ первого порядка можно записать в дифференциальной форме:

, (1.7)

где и – известные функции. Уравнение (1.7.) удобно тем, что переменные и в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

Задача Коши для ДУ первого порядка имеет следующую формулировку: найти решение (интеграл ) дифференциального уравнения (1.5) или (1.6), удовлетворяющее начальному условию:

. (1.8)

С геометрической точки зрения это означает, что среди всех интегральных линий данного уравнении необходимо найти ту, которая проходит через заданную точку .

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (1.6.) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (1.8), т.е. через точку проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Геометрический смысл ДУ первого порядка состоит в следующем. Уравнение (1.6) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки , принадлежащей области , и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy (рис. 1).

Кривая, во всех точках которой направление одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить , т.е. .