§ 9. Элементы теории случайных функций

9.1. Законы распределения и основные характеристики случайных функций

Случайной функцией называют функцию одного или нескольких аргументов, значение которой при фиксированных значениях аргументов является случайной величиной. Например, X(t) – случайная функция одного аргумента, если каждому значению t из некоторого множества поставлена в соответствие случайная величина X(t). Если параметр t играет роль времени, то случайная функция называется случайным процессом.

Реализацией случайной функции X(t) называется неслучайная функция x(t), полученная в результате испытания в заданных условиях.

Пусть над случайной функцией произведено n испытаний, в результате чего получено n реализаций Тогда при некотором фиксированном значении аргумента t = t_o эти реализации превратятся в значения случайной величины Х(t_о), которую называют сечением случайной функции. Ее закон распределения F₁(x/t_о) является одномерной функцией распределения данной случайной функции X(t) при фиксированном t = t_o. Соответствующая одномерная плотность существует, если сечение X(t_о) является непрерывной случайной величиной, при этом в точках дифференцируемости функции F₁(x/t_о) справедливо равенство

Двумерной функцией распределения называется функция совместного распределения двух сечений случайной функции:

Соответствующая двумерная плотность существует, если двумерная случайная величина непрерывна, и если при этом в точке (x, y) функция дважды дифференцируема, то

Отсюда

Основными характеристиками случайных функций являются математи-ческое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.

Математическим ожиданием и дисперсией случайной функции X(t) называются такие неслучайные функции которые для каждого фиксированного значения t равны математическому ожиданию и дисперсии соответствующего сечения.

Для случайной функции непрерывного типа

. (9.1)

(9.2)

Корреляционной функцией называется неслучайная функция двух действительных аргументов t₁ и t₂ , которая для каждой пары фиксированных t₁ и t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений:

(9.3)

Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции двух сечений случайной функции.

Основные свойства корреляционной функции:

1.  свойство симметрии.

2.

3. Если Y(t) = X(t)+t), где t)  неслучайная функция, то

.

4.Если Y(t) = t) X(t), где t)  неслучайная функция, то

.

Взаимной корреляционной функцией двух действительных случайных функций называется неслучайная функция двух аргументов, равная корреляционному моменту данных случайных функций:

9.1. Случайная функция X(t) задана в виде X(t) = Vt + b, где V  случайная величина непрерывного типа, распределенная по нормальному закону а b  неслучайная константа. Найти одномерную плотность и основные характеристики процесса: и

 Зафиксируем значение аргумента t, тогда X(t) станет функцией лишь случайной величины, плотность распределения которой нормальна:

Функция монотонно возрастает всюду, поэтому справедливо равенство

откуда следует, что

Так как то

.

Отсюда получаем: 

9.2. Случайная функция где U – случайная величина, возможные значения которой принадлежат интервалу (0;10). Найти реализации функции X(t) в двух испытаниях, в которых U приняла значения: а) ; б)

9.3. Случайная функция где U – случайная величина дискретного типа, закон распределения которой имеет вид:

X	0	1	3	5
P	0,2	0,5	0,2	0,1

Найти сечения X(t), соответствующие фиксированным значениям аргумента: а) б)

9.4. Доказать, что неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

9.5. Доказать, что математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых.

9.6. Найти математическое ожидание случайной функции:

а) ,

б)

где U, V  случайные величины, причем M(U) = M(V) = 1.

9.7. Доказать, что при равных между собой значениях аргументов корреляционная функция случайной функции X(t) равна её дисперсии:

9.8. Доказать, что от прибавления к случайной функции X(t) неслучайной функции (t) корреляционная функция не изменится: если Y(t) = X(t) + (t), то

9.9. Доказать, что при умножении случайной функции X(t) на неслучайный множитель (t) корреляционная функция умножается на произведение:

9.10. Случайный процесс X(t) имеет вид где V  случайная величина, равномерно распределенная на 0;3. Найти одномерную функцию и плотность этого процесса.

9.11. Случайная функция X(t) задана в виде X(t) = U +Vt, где U и V  независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же закону распределения N(m,). Записать одномерную плотность Найти

9.12. Случайное гармоническое колебание задано в виде где   неслучайная частота, а случайные амплитуды A и B независимы и подчиняются каждая нормальному закону N(0;). Найти одномерную и двумерную плотности процесса.

9.13. Одномерная плотность вероятности случайного процесса X(t) имеет вид

где a и   постоянные величины, причём  > 0.

Найти: а) б) вероятность неравенства

9.14. Случайный процесс задан выражением где V  случайная величина, плотность вероятности которой

 неслучайная функция. Найти

9.15. Случайный процесс X(t) представляет собой случайную ступеньку

 единичная функция Хевисайда, A  случайная амплитуда с характеристиками Т  случайное, независимое от A время начала ступеньки, с плотностью распределения Найти математическое ожидание корреляционную функцию

9.16. Угол крена корабля X(t) представляет собой нормальный случайный процесс с характеристиками Известно, что в момент времени угол крена корабля составлял градусов. Какова вероятность того, что в момент угол крена будет больше, чем  градусов?

9.2. Линейные преобразования случайных функций

Говорят, что случайная функция Х(t) сходится в среднеквадратическом при к случайной величине Х_о, если начальный момент второго порядка стремится к нулю при t  t_о:

= 0.

Сходимость в среднеквадратическом обозначается символом

Случайная функция Х(t) называется непрерывной в среднеквадратическом в точке t_о, если

Производной случайной функции X(t) называется случайная функция X(t), определяемая как предел в среднеквадратическом отношения приращения случайной функции к приращению неслучайного аргумента:

Для дифференцируемости случайной функции необходимо, чтобы функция X(t) была непрерывной, а для этого непрерывной должна быть ее корреляционная функция. Достаточным условием дифференцируемости функции X(t) в точке t является существование второй смешанной частной производной корреляционной функции при равных значениях ее аргументов.

Интегралом в среднеквадратическом от случайной функции X(t) в постоянных границах от a до b называется предел соответствующей интегральной суммы

,

где  наибольший из всех t_i, а предел понимается в смысле среднеквадратического.

Линейным однородным преобразованием случайной функции X(t) называется преобразование L_о, обладающее следующими свойствами:

1^о. L_о[X₁(t) + X₂(t)]= L_о[X₁(t)] + L_о[X₂(t)];

2^о. L_о[CX(t)] = CL_о[X(t)].

Примерами линейных однородных преобразований могут служить:

а) оператор дифференцирования ;

б) оператор интегрирования ,

где операции дифференцирования и интегрирования следует понимать в «среднеквадратическом»;

в) оператор умножения случайной функции на неслучайную

Y(t) = (t)X(t);

г) оператор интегрирования с заданным «весом» .

Линейным неоднородным называется преобразование вида

Y(t) = L_о[X(t)] + f(t),

где f(t)  неслучайная функция.

Каноническим разложением случайной функции называется сумма ее математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций

, (9.4)

где случайные величины имеют математические ожидания, равные нулю, и называются коэффициентами канонического разложения, а неслучайные функции  координатными функциями.

Корреляционная функция канонического разложения имеет вид

. (9.5)

При t₁ = t₂ = t . (9.5а)