Задания для самостоятельной работы

n9.7. Решить однородные ДУ:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

n9.8. Решить ДУ, приводящиеся к однородным:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

n9.9. Найти частные решения (интегралы) уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение я. Бернулли Краткие теоретические сведения

Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

, (4.1)

линейное относительно неизвестной функции и ее производной (а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразований приводящееся к виду 4.1), называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции и должны быть непрерывными в некоторой области, например на отрезке , для того, чтобы выполнялись условия теоремы Коши существования и единственности решения (см. теорему из п. 1.1.).

В случае, когда , уравнение (4.1.) называют однородным линейным дифференциальным уравнением.

Особенность ДУ (4.1.) состоит в том, что искомая функция и ее производной входят в уравнение первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (4.1) – метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод и. Бернулли

Введем две неизвестные функции и . Решение уравнения (4.1) найдем в виде произведения этих двух функций, т.е. с помощью подстановки (подстановки Бернулли). Тогда . Подставляя выражения и в уравнение (4.1), получаем: или

. (4.2)

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. уравнение (4.2) превратилось в уравнение

. (4.3)

Для этого необходимо решить ДУ с разделяющимися переменными: .

А именно: .

Так как может быть выбрана достаточно произвольно (поскольку только произведение должно удовлетворять исходному уравнению 4.1), можно принять . Отсюда:

.

Подставляя найденную функцию в уравнение (4.3), получаем:

.

После решения полученного ДУ с разделяющимися переменными находим функцию :

.

Возвращаясь к переменной , получаем общее решение исходного ДУ (4.1):

.

Таким образом, интегрирование уравнения (4.1) сводится нахождению двух функций: – решение уравнения , и – решение уравнения , т.е. к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Решим линейное однородное ДУ, о котором говорилось выше, т.е.

.

Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

,

т.е. .

Метод вариации произвольной постоянной состоит в следующем: постоянную в полученном решении заменяют функцией , т.е. . Решение уравнения (4.1) ищем в виде:

. (4.4)

Подставляем решение (4.4) в исходное уравнение (4.1)

Для удобства вычислений найдем отдельно производную :

.

После подстановки получаем:

.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид:

.

Следовательно,

Интегрируя, находим:

Подставляя выражение в равенство (4.4), получим общее решение ДУ (4.1):

(4.5)

Естественно, та же формула была получена методом Бернулли.

Общее решение уравнения (4.1) всегда можно записать в виде (4.5).

Замечание. Уравнение вида

(4.6)

можно свести к линейному, если считать функцией, а – аргументом: . Тогда, используя равенство , получаем

, т.е. или , (4.6*)

где и , линейное относительно уравнение.

Его общее решение имеет вид: