Задания для самостоятельной работы
n9.5. Решить ДУ с разделяющимися переменными:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.6. Найти решение задачи Коши для указанных ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.Ответы
9.3. Однородные дифференциальные уравнения Краткие теоретические сведения
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.
Определение.
Функция
называется однородной
функцией n-го
порядка
(измерения) относительно аргументов
и
,
если при умножении каждого ее аргумента
на произвольный множитель
вся функция умножается на
,
т.е. равенство
справедливо
для любого
,
при котором функция
определена,
.
Например,
функция
есть однородная функция третьего
порядка, так как
.
Функция
будет однородной
нулевого порядка, если
,
т.е. выполняется равенство
. (3.1)
Определение. Дифференциальное уравнение
(3.2)
называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.
Однородное ДУ (3.2) можно переписать в виде:
.
Действительно,
так как функция
– однородная функция нулевого порядка,
то уравнение (3.2) можно записать в виде
.
Положив
,
получаем:
.
Следовательно, уравнение (3.2) сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены переменной (подстановкой)
или
,
тогда
,
где
– есть функция переменной
,
т.е.
:
.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
. (3.3)
Оно будет однородным в том и только том случае, если и – однородные функции одного и того же порядка, т.е.
и
.
Действительно, переписав его в нормальной форме:
,
легко видеть, что – однородная функция нулевого порядка, так как
.
Замечание.
Уравнение вида
,
где
– числа,
приводится к однородному или с
разделяющимися переменными. Для этого
вводятся новые переменные
и
,
положив
,
где
и
– числа, которые подбирают так, чтобы
уравнение стало однородным.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти все решения ДУ
.
Решение. Запишем данное ДУ в форме (3.2)
.
Проверим
функцию
на однородность нулевого порядка:
.
Из проверки видно, что данное уравнение действительно является однородным. Сделаем замену , . Тогда:
.
Получившееся после преобразований ДУ – есть ДУ с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные, последовательно находим:
,
.
Сделаем
обратную замену, т.е. в последнее выражение
вместо
подставим значение
.
Получим общий интеграл:
При
разделении переменных могли потерять
особые решения. Найдем их, если они
имеются. Для этого решим уравнение
.
Непосредственно видно, что
не является решением Если
,
то
.
С помощью подстановки можно убедиться,
что
– является решением данного ДУ.
Следовательно, к общему интегралу необходимо добавить решение .
Пример
2. Решить
уравнение
.
Решение. Приведем данное уравнение к виду (3.3)
.
Так
как функции
и
– однородные первого порядка, то данное
уравнение – однородное. Сделаем замену
,
.
Тогда
,
предполагая,
что
,
сокращаем обе части равенства на
.
Далее имеем:
.
Разделяем переменные, интегрируем и находим общий интеграл ДУ:
.
После обратной замены получаем:
.
Особое
решение только одно
,
так как
.
Пример 3. Найти частное решение ДУ
,
удовлетворяющее
начальному условию
.
Решение.
Легко видеть, что функция
– однородная нулевого порядка. Сделаем
замену
,
.
Тогда
.
Разделяем переменные
.
Интегрируем последнее равенство, получаем:
.
Подставляя вместо его значение, получим общее решение:
.
Использовав начальное условие , определим значение С:
.
Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид:
.
Пример 4. Найти общий интеграл ДУ
.
Решение. Положив , получаем:
.
Подберем и так, чтобы уравнение стало однородным, т.е.
Находим,
что
.
Заданное уравнение принимает вид:
и будет являться однородным.
Решая
это однородное уравнение подстановкой
,
получаем уравнение:
решением которого является:
.
Подставляя
значение
,
получаем:
.
Так
как
,
т.е.
,
имеем:
.