§ 4. Інтегрування частинами в невласному інтегралі

Нехай дві функції, визначені і неперервні на , скінчене, функції також неперервні на .

Як відомо, для будь-якого має місце формула інтегрування частинами

.

Якщо два із цих трьох членів існують, коли прямує до , то третій член також має скінчену границю. Зокрема, коли існують і або існують і , то

.

Таким чином, інтегрування частинами на некомпактному проміжку необхідно застосовувати обережно.

Приклад 4.1. Розглянемо функцію (називається „інтегральний синус”), яка є первісною для функції

тобто

.

Покладемо , тоді

.

Але є похідна функції .

Нехай , . Тоді

,

оскільки .

Нехай тепер неперервна на функція, визначена як , , . Маємо

.

Зрозуміло, що , , а тому коли прямує до нескінченості, то прямує до нуля. Тоді

. (4.1)

Неважко встановити збіжність , оскільки , :

і на будь-якому проміжку ,

.

Як відомо, збігається, а тому збігається (при тому і абсолютно) і .

Як буде показано в теорії рядів , отже, в цьому прикладі інтегрування частинами переводить інтеграл, який збігається абсолютно, у збіжний інтеграл, але не абсолютно.

§ 5. Достатні умови збіжності невласних інтегралів

Зупинимось більш детально на умовах збіжності невласних інтегралів на проміжку .

1. Додатні функції. Нехай невід’ємна функція на , неперервна на , .

Для того, щоб існував необхідно і достатньо, щоб інтеграли були обмежені зверху при будь-якому .

Якщо і дві невід’ємні функції, визначені на , неперервні на , , і якщо , то

,

і, зрозуміло, що із збіжності слідує збіжність ; якщо буде розбіжним, то також є розбіжним.

Загальне зауваження. Нехай функція неперервна на будь-якому відрізку . Тоді, коли достатньо велике, то

і, зрозуміло, що для збіжності достатньо знати, чи збігається , . Іншими словами, достатньо знати поведінку в околі . У деяких випадках асимптотичні розкладання допоможуть оцінити цю поведінку. Наприклад, для того, щоб збігався достатньо, щоб при функція , де . Тобто функції , де - параметр, можна вибрати за еталони порівняння.

2. Абсолютна і умовна збіжність. Нехай інтегруєма, наприклад, неперервна функція на відрізку при будь-якому , а - невід’ємна інтегруєма функція на тому ж проміжку така, що існує , і знайдеться таке число , що для виконується нерівність . Тоді буде абсолютно збіжним.

Приклад 5.1. Нехай , і . Тоді для достатньо великих маємо

.

Якщо , то абсолютно збігається.

Основою доведення збіжності (неабсолютної) невласного інтеграла являється критерій Коші: для того, щоб існував необхідно і достатньо, щоб прямував до нуля, коли і прямують незалежно до .

Зрозуміло, що перевірка на збіжність за допомогою цього критерію не зовсім проста (точніше, далеко не проста).

Розглянемо окремо випадок, коли та неперервні при , а і їх первісні. Тоді для будь-яких

,

звідки

.

Припустимо, що обмежена на тобто , і абсолютно збігається.

Тоді і прямують до нуля, коли і

.

Тим самим доведено, що прямує до нуля, а тим більш і

.

Приклад 5.2. Нехай , . Якщо , то, оскільки , то , абсолютно збігається.

Якщо , то покладемо , , , . Оскільки , то збігається, , і збігається, коли . Зрозуміло, що буде збіжним і , .

Таким чином, якщо підсумувати все вищесказане, то:

1) якщо і невід’ємні функції, визначені на і інтегруємі на будь-якому відрізку , причому ( називають мажорантою для , а мінорантою для ), то із збіжності слідує збіжність і , а із розбіжності слідує розбіжність . Коротко кажучи: “якщо збігається мажоранта, то збігається і міноранта. А якщо розбігається міноранта, то розбігається і мажоранта ”;

2) нехай інтегруєма функція на , де будь-яке число із , і нескінченно мала при , того же порядку, що функція , . Тоді збігається, коли , і розбігається, коли ;

3) нехай інтегруєма функція на будь-якому і має при той же порядок росту, що і функція , .

Тоді збігається, коли , і розбігається, коли ;

4) теорема (умова Абеля). Нехай функції і визначені на , збігається, а функція монотонна і обмежена. Тоді інтеграл збігається.

5) теорема (умова Діріхле). Нехай і визначені на , функція має обмежену первісну , , а функція монотонно прямує до нуля, коли . Тоді інтеграл збігається.