
- •Раздел 2. Нелинейное программирование
- •2.1. Математическая постановка задачи
- •2.2. Метод Лагранжа для задачи с ограничениями типа равенства
- •2.3. Метод Лагранжа для задачи с ограничениями типа неравенства
- •2.4. Метод Лагранжа для задачи со смешанными ограничениями
- •2.5. Задача квадратичного программирования
- •2.6. Задачи и вопросы для практической работы
Раздел 2. Нелинейное программирование
2.1. Математическая постановка задачи
В наиболее общей форме задача нелинейного программирования имеет вид
(D,
f):
,
(1.1)
qi(x) ≤ bi , i = 1,…,r
hi(x) = di , i = l,…,l
где х = (х1, …, хп)Т,
-
вектор переменных задачи, qi(x)
≤ bi
, i = 1,…,r – ограничения типа
неравенства, hi(x)
= di
, i = l,…, l,
- ограничения типа равенства, bi,
di –
заданные параметры, f(x) –
целевая функция,
-
некоторое открытое подмножество Еп,
на котором определены функции f(x),
qi(x)
и hi(x)
I, D –
множество допустимых решений,
определяемое ограничениями задачи,
т.е. D = {
/
qi(x)
≤ bi
, i = 1,…,r, hi(x)
= di
, i = l,…,l}. Решение задачи
сводится к нахождению вектора х*
из D, который
максимизирует или минимизирует целевую
функцию f(x).
Различают локальные и глобальные решения задачи (1.1). Решение х* D называется глобальным, если для задачи на максимум имеет место условие
.
(1.2)
Если же имеет место условие
(1.3)
где
= { х
X /x
– x*
}
- некоторая
- окрестность точки х*,
то решение х* называется
локальным.
Существуют необходимые и достаточные условия оптимальности решений (обозначим их через НДУ, НУ и ДУ, соответственно). НДУ - это условия, без выполнения которых утверждение о том, что решение х* является оптимальным, заведомо не может быть верным (НУ), и, соответственно, при выполнении которых утверждение о том, что решение х* является оптимальным, заведомо верно (ДУ). Процедура проверки этих условий изображена на рис. 2.1.
нет
нет
да
да
“
не претендует на оптимальность”
“Нужны дополнительные исследования”
“
является оптимальным решением
задачи”
Рис. 2.1. «Тест» на
оптимальность.
“претендент”
2.2. Метод Лагранжа для задачи с ограничениями типа равенства
В предположении, что присутствующие в задаче (1.1) функции f(x), qi(x), i =1, …, m, и hi(x), j = 1, …, l, имеют непрерывные частные производные первого порядка, задачу можно решить с помощью метода множителей Лагранжа. Задача с ограничениями типа равенства имеет вид
(D,
f):
.
(2.1)
hi(x) = di , i = l,…,l
Согласно общей теории, составляем функцию Лагранжа в виде
,
(2.2)
где i, i =1, …, l, - неопределенные множители Лагранжа. Для того чтобы точка х* была оптимальным решением задачи (2.1), необходимо существование величин i, i =1, …, l, удовлетворяющих условиям теоремы Куна – Таккера
L(x*,
)/xj
= f(x*)/xj
+
hi(x*)/xj
= 0,
j =1, …, n,
L(x*, )/i = hi(x*) – di = 0, i =1, …, l, (2.3)
или в терминах векторов-градиентов xL, L, хf и xh:
,
.
(2.4)
В этих условиях предполагается, что градиенты xhi(x*), i = 1, …, l, линейно независимы. В этом случае из первого равенства следует важное для геометрического представления условие
(2.5)
которое означает, что вектор-градиент хf в точке х* представляется в виде линейного разложения (линейной комбинации) векторов xhi(x*), i = 1, …, l, с коэффициентами разложения - i, i =1, …, l.
Решение системы (2.2) в виде двойки (х* , ) можно найти следующим образом. Из первых п уравнений находим решения х*j( ), j = 1, …, n, как функции вектора = (1,…, l)T; подставляя далее эти решения в следующие l равенства hi(x*) – di = 0, i =1, …, l, находим значения неопределенных множителей Лагранжа i, i =1, …, l; наконец, возвращаясь к решениям х*j( ), j = 1, …, n, находим их окончательное значение х* j, j = 1, …, n. Эти решения называются стационарными точками функции Лагранжа; для них имеет место равенство L(x*, ) = f(x*), что непосредственно следует из определения самой функции Лагранжа и условий hi(x*) – di = 0, i = 1, …, 1. Среди найденных стационарных решений (в общем случае все они являются локальными решениями) глобальным оптимумом является то решение, которое максимизирует или минимизирует целевую функцию f(x).
Иллюстрируем применение этого метода в решении следующей экономической задачи, известной из теории потребительского выбора [9].
Необходимо
найти такой набор экономических благ
(qi,…,qn),
который удовлетворяет бюджетному
ограничению
и максимизирует функцию полезности,
заданной в виде
,
где величины j,
j = 1, …, n, фиксированные
параметры, pj,
j = 1, …, n, рыночные
цены на единицу соответствующих благ.
С математической точки зрения мы имеем следующую задачу на максимум
(qi,…,qn)
Решение этой
задачи находим при следующих исходных
данных: п = 2; P1=10,
P2=15; I
=10000; σ1 = 0.6, σ2 =
0.8,функция полезности равна
.
На рис.2.2 иллюстрировано
решение этой задачи.
уровни полезности
q2
q1
q2*
q1*
Бюджетная линия
Рис. 2.2. Геометрическая иллюстрация решения.
Составляем
функцию Лагранжа в виде
,
для которой получим следующие условия
теоремы Куна – Таккера
,
б)
,
в)
.
т.к.
,
из условий а) – в) получим
в)
.
Из условий а) и б) получим выражение 1q2 /2q1 = p1/p2 или что эквивалентно, p2q2 = p1q12/1. Тогда из уравнения бюджетной прямой следует, что p1q1(1 + 2/1) = I, откуда следует решение в виде
,
,
или в цифровом значении:
q1* = (10000/10)6/14 = 428.5,
q2* = (10000/15)8/14 = 381.
При этом общий бюджет будет распределен таким образом:
,
а отношение этих величин составляет
.