Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка Ряднов а.В.

§1. Общие понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = y(x) и ее производные , т.е. уравнение вида

F(x, ) = 0

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y = φ(x), определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y = φ(x) и ее производных в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b).

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F( ) = 0, (1)

где F( ) – заданная функция переменных x, y, .

Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится

= f(x,y) (2)

- дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Иногда дифференциальные уравнения первого порядка записываются в форме

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (3)

Здесь P(x,y) и Q(x,y) - заданные функции переменных x и y. В этом случае за неизвестную функцию можно принять как x, так и y.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y'= f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(x_o) = y_o (другая запись y |_x=xo= y_o). Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку M_o(x_o,y_o) плоскости XOY .

Вопрос о существовании решений дифференциального уравнения (2) решается следующей теоремой.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть задано дифференциальное уравнение y'= f(x,y), где функция f(x,y) удовлетворяет условиям:

а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D,

б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D,

тогда найдется интервал (x_o – d, x_o + d), на котором существует и притом единственное решение y =у(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_o) = y_o.

Геометрически это означает, что через каждую точку M_o(x_o,y_o) проходит одна и только одна интегральная кривая дифференциального уравнения (2).

Теорема имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения y = y(x) уравнения (2) лишь в достаточно малой окрестности точки x_o.

Из теоремы вытекает, что уравнение (2) имеет бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку M_o(x_o,y_o); другое решение, когда график проходит через точку M₁(x_o,y₁), где y₁≠y_o и т.д.).

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения

y' = f(x,y), но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее условию y(x_o)=y_o, хотя в точке M_o(x_o,y_o) не выполняются условия a) или б) или оба вместе.

Если отказаться от ограниченности частной производной , то решение задачи Коши будет существовать, но оно может быть не единственным.

Функция y = φ(x,C), зависящая от одной произвольной постоянной C, называется общим решением дифференциального уравнения (2) в области D на плоскости xOy, где выполняются условия существования и единственности решения, если 1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C; 2) для любого решения y = y^*(x) дифференциальное уравнение (2), график которого лежит в области D, найдется такое значение константы C = C^*, что y^*(x)= φ(x,C^*).

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной C (иногда включают C = ±∞). Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто приходим к уравнению

Φ(x,y,C) = 0, (4)

неявно задающего общее решение уравнения. Уравнение (4) называется общим интегралом дифференциального уравнения (2) в области D. При соответствующем выборе значения C оно определяет любую интегральную кривую, проходящую в области D.

Замечание. Обычно, когда находят общее решение, довольствуются получением решения или интеграла, зависящего от произвольной постоянной C, не обращая внимания на область D, указанную в определении. Однако надо при этом иметь в виду, что полученное решение не обязательно включает в себя все решения данного уравнения. Некоторые интегральные кривые могут выпасть из рассмотрения в ходе решения. Для их определения требуется специальное исследование.

Решение y = Ψ(x) дифференциального уравнения (2) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т.е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение уравнения (2), не совпадающее с y = Ψ(x) в сколь угодно малой окрестности этой точки. График особого решения называется особой интегральной кривой. Для существования особого решения дифференциального уравнения (2) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы существования и единственности решения.

Через каждую точку M(x,y) из области определения дифференциального уравнения (2) проведем прямую, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен f(x,y). Это семейство прямых называется полем направлений дифференциального уравнения y' = f(x,y). Интегральная кривая дифференциального уравнения (2) в каждой своей точке касается поля направлений этого уравнения. Задача интегрирования этого уравнения может быть истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля дифференциального уравнения (2) в этой точке.

Задача построения поля направлений (а значит и построения интегральной кривой дифференциального уравнения (2)) часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек в которых направление поля дифференциального уравнения (2) одинаково. Все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, в точках пересечения наклонены к оси абсцисс под одним и тем же углом.

Семейство изоклин дифференциального уравнения (2) определяется уравнением

F(x,y) = K, (5)

Где K – параметр. Нулевая изоклина f(x,y) = 0 определяет геометрическое место возможных точек экстремума интегральных кривых дифференциального уравнения (2). Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление выпуклости и точки перегиба этих кривых (если такие точки существуют). Для этого находят y''. В силу уравнения (2), получаем

y'' = f'_x + f'_yy' = f'_x(x,y) + f'_y(x,y)f(x,y) (6)

Знак правой части (6) определяет знак y'' , т.е. направление выпуклости интегральных кривых. Линия, заданная уравнением

f'_x(x,y) + f'_y(x,y)f(x,y)=0

есть геометрическое место возможных точек перегиба интегральных кривых дифференциального уравнения (2).